Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit es eine Periodendauer von 2 s hat? Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme L.
T = 2 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Federn & PendelSchwer
Ein Geschoss mit 20 g und 150 m/s trifft einen Klotz mit 1,5 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 100 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.
m = 20 gv = 150 m/sM = 1,5 kgk = 100 N/m
A = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Eine kleine Quelle sendet Schall gleichmäßig in alle Richtungen. Der Pegel beträgt 70 dB in 2 m Entfernung. Bestimme den Pegel β2 in 20 m Entfernung, wobei Absorption und Reflexionen vernachlässigt werden.
β1 = 70 dBr1 = 2 mr2 = 20 m
β2 = dB
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 60 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 5 cm und Linse 2 mit f₂ = 12 cm. Ein Gegenstand steht 20 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).
f1 = 5 cmf2 = 12 cms = 60 cmdo = 20 cm
di2 = cm
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: L = 0,994 m
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Nach der Länge auflösen
L = g·(T/2π)² = 9,81·(2/2π)² = 0,994 m
Antwort
L = 0,994 m
2.Federn & Pendel
Antwort: A = 24,33 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Geschwindigkeit nach dem Aufprall
V = m·v/(m + M) = 0,02·150/1,52 = 1,974 m/s
Kreisfrequenz
ω = √(k/(m + M)) = √(100/1,52) = 8,111 rad/s
Amplitude
A = V/ω = 1,974/8,111 = 0,2433 m = 24,33 cm
Antwort
A = 24,33 cm
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: β2 = 50 dB
Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).
Intensitätsverhältnis
I₂/I₁ = (2/20)² = 0,01
Neuer Pegel
β₂ = 70 + 10·log₁₀(0,01) = 50 dB
Antwort
β2 = 50 dB
Jede Verdopplung des Abstands senkt den Pegel um etwa 6 dB.
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: di2 = 15,48 cm
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Bild von Linse 1
1/di1 = 1/5 − 1/20 → di1 = 6,667 cm
Gegenstand für Linse 2
do2 = 60 − 6,667 = 53,33 cm
Endgültiges Bild
1/di2 = 1/12 − 1/53,33 → di2 = 15,48 cm
Antwort
di2 = 15,48 cm
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