Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
3 kgk = 150 N/mA = 17 cmx = 9 cm

Eine Masse von 3 kg an einer Feder mit k = 150 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 17 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 9 cm von der Ruhelage entfernt ist.

m = 3 kgk = 150 N/mA = 17 cmx = 9 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
2,3 kgk = 240 N/m

Eine Masse von 2,3 kg wird am unteren Ende einer ungedehnten senkrechten Feder mit k = 240 N/m befestigt und aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Dehnung xmax der Feder in cm.

m = 2,3 kgk = 240 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
P8 × 60 dB

Eine Maschine erzeugt an einem bestimmten Punkt einen Schallpegel von 60 dB. Bestimme den Pegel β an diesem Punkt, wenn 8 gleiche Maschinen gleichzeitig laufen (inkohärente Quellen).

β1 = 60 dBn = 8
β = dB
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
f1​ = 8 cmf2​ = 20 cm20 cm40 cm

Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 40 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 8 cm und Linse 2 mit f₂ = 20 cm. Ein Gegenstand steht 20 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).

f1 = 8 cmf2 = 20 cms = 40 cmdo = 20 cm
di2 = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: v = 1,02 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(150/3) = 7,071 rad/s

Geschwindigkeit bei x

v = ω·√(A² − x²) = 7,071·√(0,17² − 0,09²) = 1,02 m/s

Antwort

v = 1,02 m/s
2.Federn & Pendel

Antwort: xmax = 18,8 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Gleichgewichtslage und Amplitude

x₀ = m·g/k = 2,3·9,81/240 = 0,09401 m = A

Tiefster Punkt

xmax = 2A = 0,188 m = 18,8 cm

Antwort

xmax = 18,8 cm
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: β = 69,03 dB

Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).

Gesamtintensität

I = 8·I₁

Stufe

β = 60 + 10·log₁₀(8) = 69,03 dB

Antwort

β = 69,03 dB
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: di2 = 80 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Bild von Linse 1

1/di1 = 1/8 − 1/20 → di1 = 13,33 cm

Gegenstand für Linse 2

do2 = 40 − 13,33 = 26,67 cm

Endgültiges Bild

1/di2 = 1/20 − 1/26,67 → di2 = 80 cm

Antwort

di2 = 80 cm

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