Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 2,5 kg an einer Feder mit k = 50 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 13 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 9 cm von der Ruhelage entfernt ist.
m = 2,5 kgk = 50 N/mA = 13 cmx = 9 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse von 3,2 kg an einer Feder mit k = 40 N/m wird um 10 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.
m = 3,2 kgk = 40 N/mA = 10 cm
vmax = m/s
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Eine an beiden Enden offene Pfeife ist 1 m lang. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Frequenz f4 ihrer Schwingung „4. Harmonische“.
v = 343 m/sn = 4L = 1 m
f4 = Hz
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Licht der Wellenlänge 480 nm fällt auf zwei Spalte im Abstand von 0,4 mm. Der Schirm ist 1 m entfernt. Bestimme den Abstand y4 vom zentralen hellen Streifen zum hellen Streifen Nummer 4.
λ = 480 nmd = 0,4 mmL = 1 mm = 4
y4 = mm
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: v = 0,4195 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(50/2,5) = 4,472 rad/s
Geschwindigkeit bei x
v = ω·√(A² − x²) = 4,472·√(0,13² − 0,09²) = 0,4195 m/s
Antwort
v = 0,4195 m/s
2.Federn & Pendel
Antwort: vmax = 0,3536 m/s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(40/3,2) = 3,536 rad/s
Maximale Geschwindigkeit
vmax = A·ω = 0,1·3,536 = 0,3536 m/s
Antwort
vmax = 0,3536 m/s
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: f4 = 686 Hz
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Wellenlänge dieser Schwingung
λ = 2L/n = 2·1/4 = 0,5 m
Frequenz
f = v/λ = 343/0,5 = 686 Hz
Antwort
f4 = 686 Hz
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: y4 = 4,8 mm
Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Streifenabstand
Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1/(0,4 × 10⁻³) = 1,2 mm
Streifen Nummer 4
y4 = 4·1,2 = 4,8 mm
Antwort
y4 = 4,8 mm
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