Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
L = 0,6 m

Ein Fadenpendel hat eine Länge von 0,6 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.

L = 0,6 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Federn & PendelSchwer
mk = 420 N/mA = 14 cmx = 13 cm

Eine Masse an einer Feder mit k = 420 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 14 cm. Bestimme ihre kinetische Energie K, wenn sie 13 cm von der Ruhelage entfernt ist.

k = 420 N/mA = 14 cmx = 13 cm
K = J
3.Wellen, Schall & OptikMittel
SO20 m/sf = 440 Hz

Ein Beobachter bewegt sich mit 20 m/s auf eine ruhende Quelle mit 440 Hz zu. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Frequenz f′, die der Beobachter hört.

f = 440 Hzv = 343 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
f1​ = 20 cmf2​ = 5 cm40 cm60 cm

Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 60 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 20 cm und Linse 2 mit f₂ = 5 cm. Ein Gegenstand steht 40 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).

f1 = 20 cmf2 = 5 cms = 60 cmdo = 40 cm
di2 = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: T = 1,554 s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Periodendauer des Pendels

T = 2π·√(0,6/9,81) = 1,554 s

Antwort

T = 1,554 s
2.Federn & Pendel

Antwort: K = 0,567 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Gesamtenergie

E = ½·k·A² = ½·420·0,14² = 4,116 J

Federenergie bei x

U = ½·k·x² = ½·420·0,13² = 3,549 J

Kinetische Energie

K = 4,116 − 3,549 = 0,567 J

Antwort

K = 0,567 J
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f′ = 465,7 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Doppler-Formel

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 440·(343 + 20)/(343 − 0)
f′ = 465,7 Hz

Antwort

f′ = 465,7 Hz
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: di2 = 6,667 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Bild von Linse 1

1/di1 = 1/20 − 1/40 → di1 = 40 cm

Gegenstand für Linse 2

do2 = 60 − 40 = 20 cm

Endgültiges Bild

1/di2 = 1/5 − 1/20 → di2 = 6,667 cm

Antwort

di2 = 6,667 cm

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