Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel

Eine Masse von 0,9 kg an einer Feder mit k = 140 N/m wird 4 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 0,7 s (mit Vorzeichen).

m = 0,9 kgk = 140 N/mA = 4 cmt = 0,7 s

x = cm

2.Federn & PendelSchwer

Eine Masse von 1,3 kg an einer Feder mit k = 300 N/m wird um 2 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme die Gesamtenergie E der Schwingung.

m = 1,3 kgk = 300 N/mA = 2 cm

E = J

3.Wellen, Schall & OptikMittel

Eine einseitig geschlossene Pfeife ist 1 m lang. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Frequenz f₅ ihrer Schwingung „5. Harmonische“.

v = 343 m/sn = 5L = 1 m

f₅ = Hz

4.Wellen, Schall & OptikSchwer

Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 50 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 8 cm und Linse 2 mit f₂ = 5 cm. Ein Gegenstand steht 15 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage d_i2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).

f₁ = 8 cmf₂ = 5 cms = 50 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: x = −3,074 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(140/0,9) = 12,47 rad/s

ω·t = 12,47·0,7 = 8,731 rad

Weg

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(8,731) = −3,074 cm

Antwort

x = −3,074 cm

2.Federn & Pendel

Antwort: E = 0,06 J

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(300/1,3) = 15,19 rad/s

Energie

E = ½·k·A² = ½·300·0,02² = 0,06 J

Antwort

E = 0,06 J

3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f₅ = 428,8 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge dieser Schwingung

λ = 4L/n = 4·1/5 = 0,8 m

Frequenz

f = v/λ = 343/0,8 = 428,8 Hz

Antwort

f₅ = 428,8 Hz

4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: d_i2 = 5,897 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θ_c = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/d_o + 1/d_i mit dem Abbildungsmaßstab m = −d_i/d_o. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; d_i > 0 für ein reelles Bild, d_i < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Bild von Linse 1

1/d_i1 = 1/8 − 1/15 → d_i1 = 17,14 cm

Gegenstand für Linse 2

d_o2 = 50 − 17,14 = 32,86 cm

Endgültiges Bild

1/d_i2 = 1/5 − 1/32,86 → d_i2 = 5,897 cm

Antwort

d_i2 = 5,897 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics