Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel

Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit es eine Periodendauer von 1,4 s hat? Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

2.Federn & PendelSchwer

Ein Geschoss mit 8 g und 250 m/s trifft einen Klotz mit 0,5 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 200 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.

m = 8 gv = 250 m/sM = 0,5 kgk = 200 N/m

A = cm

3.Wellen, Schall & OptikMittel

Eine einseitig geschlossene Pfeife ist 0,8 m lang. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Frequenz f₅ ihrer Schwingung „5. Harmonische“.

v = 343 m/sn = 5L = 0,8 m

f₅ = Hz

4.Wellen, Schall & OptikSchwer

Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 10 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 20 cm und Linse 2 mit f₂ = 10 cm. Ein Gegenstand steht 30 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage d_i2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).

f₁ = 20 cmf₂ = 10 cms = 10 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: L = 0,487 m

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Nach der Länge auflösen

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Antwort

L = 0,487 m

2.Federn & Pendel

Antwort: A = 19,84 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Geschwindigkeit nach dem Aufprall

V = m·v/(m + M) = 0,008·250/0,508 = 3,937 m/s

Kreisfrequenz

ω = √(k/(m + M)) = √(200/0,508) = 19,84 rad/s

Amplitude

A = V/ω = 3,937/19,84 = 0,1984 m = 19,84 cm

Antwort

A = 19,84 cm

3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f₅ = 535,9 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge dieser Schwingung

λ = 4L/n = 4·0,8/5 = 0,64 m

Frequenz

f = v/λ = 343/0,64 = 535,9 Hz

Antwort

f₅ = 535,9 Hz

4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: d_i2 = 8,333 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θ_c = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/d_o + 1/d_i mit dem Abbildungsmaßstab m = −d_i/d_o. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; d_i > 0 für ein reelles Bild, d_i < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Bild von Linse 1

1/d_i1 = 1/20 − 1/30 → d_i1 = 60 cm

Gegenstand für Linse 2

d_o2 = 10 − 60 = −50 cm

Endgültiges Bild

1/d_i2 = 1/10 − 1/(−50) → d_i2 = 8,333 cm

Antwort

d_i2 = 8,333 cm

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