Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
0,2 kgk = 350 N/mA = 8 cmx = 2 cm

Eine Masse von 0,2 kg an einer Feder mit k = 350 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 8 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 2 cm von der Ruhelage entfernt ist.

m = 0,2 kgk = 350 N/mA = 8 cmx = 2 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
t (s)x (cm)t = ?15,3

Ein Körper führt eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer 2,6 s und der Amplitude 17 cm aus. Welche kürzeste Zeit t braucht er, um sich von der Ruhelage bis zu einer Auslenkung von 15,3 cm zu bewegen?

T = 2,6 sA = 17 cmx = 15,3 cm
t = s
3.Wellen, Schall & OptikMittel
60 dB?2 m8 m

Eine kleine Quelle sendet Schall gleichmäßig in alle Richtungen. Der Pegel beträgt 60 dB in 2 m Entfernung. Bestimme den Pegel β2 in 8 m Entfernung, wobei Absorption und Reflexionen vernachlässigt werden.

β1 = 60 dBr1 = 2 mr2 = 8 m
β2 = dB
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
f1​ = 12 cmf2​ = 5 cm20 cm50 cm

Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 50 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 12 cm und Linse 2 mit f₂ = 5 cm. Ein Gegenstand steht 20 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).

f1 = 12 cmf2 = 5 cms = 50 cmdo = 20 cm
di2 = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: v = 3,24 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(350/0,2) = 41,83 rad/s

Geschwindigkeit bei x

v = ω·√(A² − x²) = 41,83·√(0,08² − 0,02²) = 3,24 m/s

Antwort

v = 3,24 m/s
2.Federn & Pendel

Antwort: t = 0,4634 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = 2π/T = 2π/2,6 = 2,417 rad/s

Nach der Zeit auflösen

0,9 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,9) = 1,12 rad
t = 1,12/2,417 = 0,4634 s

Antwort

t = 0,4634 s
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: β2 = 47,96 dB

Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).

Intensitätsverhältnis

I₂/I₁ = (2/8)² = 0,0625

Neuer Pegel

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0,0625) = 47,96 dB

Antwort

β2 = 47,96 dB

Jede Verdopplung des Abstands senkt den Pegel um etwa 6 dB.

4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: di2 = 6,667 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Bild von Linse 1

1/di1 = 1/12 − 1/20 → di1 = 30 cm

Gegenstand für Linse 2

do2 = 50 − 30 = 20 cm

Endgültiges Bild

1/di2 = 1/5 − 1/20 → di2 = 6,667 cm

Antwort

di2 = 6,667 cm

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