Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 1,3 kg an einer Feder mit k = 230 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 6 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 1 cm von der Ruhelage entfernt ist.
m = 1,3 kgk = 230 N/mA = 6 cmx = 1 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse von 2,9 kg wird am unteren Ende einer ungedehnten senkrechten Feder mit k = 460 N/m befestigt und aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Dehnung xmax der Feder in cm.
m = 2,9 kgk = 460 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Licht trifft in Acrylglas (n = 1,49) auf eine ebene Grenzfläche zu Wasser (n = 1,33). Bestimme den Grenzwinkel θc, ab dem es total reflektiert wird.
n1 = 1,49n2 = 1,33
θc = °
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Licht der Wellenlänge 656 nm fällt senkrecht auf ein Gitter mit 300 Linien pro Millimeter. Bestimme den Winkel θ1 des Maximums der Ordnung 1.
N = 300 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1
θ1 = °
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: v = 0,7869 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(230/1,3) = 13,3 rad/s
Geschwindigkeit bei x
v = ω·√(A² − x²) = 13,3·√(0,06² − 0,01²) = 0,7869 m/s
Antwort
v = 0,7869 m/s
2.Federn & Pendel
Antwort: xmax = 12,37 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Gleichgewichtslage und Amplitude
x₀ = m·g/k = 2,9·9,81/460 = 0,06185 m = A
Tiefster Punkt
xmax = 2A = 0,1237 m = 12,37 cm
Antwort
xmax = 12,37 cm
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: θc = 63,2 °
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Brechung bei 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,49 = 0,8926
Grenzwinkel
θc = arcsin(0,8926) = 63,2°
Antwort
θc = 63,2°
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: θ1 = 11,35 °
Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Linienabstand
d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m
Gittergleichung
sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,1968
θ = 11,35°
Antwort
θ1 = 11,35°
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