Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
0,5 kgk = 460 N/mA = 14 cmx = 6 cm

Eine Masse von 0,5 kg an einer Feder mit k = 460 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 14 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 6 cm von der Ruhelage entfernt ist.

m = 0,5 kgk = 460 N/mA = 14 cmx = 6 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
2,6 kgk = 270 N/mA = 5 cm

Eine Masse von 2,6 kg an einer Feder mit k = 270 N/m wird um 5 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Beschleunigung amax.

m = 2,6 kgk = 270 N/mA = 5 cm
amax = m/s²
3.Wellen, Schall & OptikMittel
θc = ?90°Acrylglas, n1​ = 1,49Luft, n2​ = 1,00

Licht trifft in Acrylglas (n = 1,49) auf eine ebene Grenzfläche zu Luft (n = 1,00). Bestimme den Grenzwinkel θc, ab dem es total reflektiert wird.

n1 = 1,49n2 = 1,00
θc = °
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
f1​ = 15 cmf2​ = 5 cm50 cm15 cm

Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 15 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 15 cm und Linse 2 mit f₂ = 5 cm. Ein Gegenstand steht 50 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).

f1 = 15 cmf2 = 5 cms = 15 cmdo = 50 cm
di2 = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: v = 3,837 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(460/0,5) = 30,33 rad/s

Geschwindigkeit bei x

v = ω·√(A² − x²) = 30,33·√(0,14² − 0,06²) = 3,837 m/s

Antwort

v = 3,837 m/s
2.Federn & Pendel

Antwort: amax = 5,192 m/s²

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(270/2,6) = 10,19 rad/s

Maximale Beschleunigung

amax = A·ω² = 0,05·10,19² = 5,192 m/s²

Antwort

amax = 5,192 m/s²
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: θc = 42,16 °

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Brechung bei 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,49 = 0,6711

Grenzwinkel

θc = arcsin(0,6711) = 42,16°

Antwort

θc = 42,16°
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: di2 = 2,813 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Bild von Linse 1

1/di1 = 1/15 − 1/50 → di1 = 21,43 cm

Gegenstand für Linse 2

do2 = 15 − 21,43 = −6,429 cm

Endgültiges Bild

1/di2 = 1/5 − 1/(−6,429) → di2 = 2,813 cm

Antwort

di2 = 2,813 cm

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