Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
t (s)x (cm)0,2 s

Eine Masse von 2,7 kg an einer Feder mit k = 30 N/m wird 8 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 0,2 s (mit Vorzeichen).

m = 2,7 kgk = 30 N/mA = 8 cmt = 0,2 s
x = cm
2.Federn & PendelSchwer
3,5 kgk = 1700 N/m250 m/s

Ein Geschoss mit 20 g und 250 m/s trifft einen Klotz mit 3,5 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 1700 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.

m = 20 gv = 250 m/sM = 3,5 kgk = 1700 N/m
A = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
P5 × 70 dB

Eine Maschine erzeugt an einem bestimmten Punkt einen Schallpegel von 70 dB. Bestimme den Pegel β an diesem Punkt, wenn 5 gleiche Maschinen gleichzeitig laufen (inkohärente Quellen).

β1 = 70 dBn = 5
β = dB
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
λ = 633 nmθ

Ein Beugungsgitter hat 600 Linien pro Millimeter. Licht der Wellenlänge 633 nm fällt senkrecht darauf. Welche höchste Ordnung mmax eines hellen Maximums ist sichtbar?

N = 600 mm⁻¹λ = 633 nm
mmax =

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: x = 6,287 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(30/2,7) = 3,333 rad/s
ω·t = 3,333·0,2 = 0,6667 rad

Weg

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(0,6667) = 6,287 cm

Antwort

x = 6,287 cm
2.Federn & Pendel

Antwort: A = 6,464 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Geschwindigkeit nach dem Aufprall

V = m·v/(m + M) = 0,02·250/3,52 = 1,42 m/s

Kreisfrequenz

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/3,52) = 21,98 rad/s

Amplitude

A = V/ω = 1,42/21,98 = 0,06464 m = 6,464 cm

Antwort

A = 6,464 cm
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: β = 76,99 dB

Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).

Gesamtintensität

I = 5·I₁

Stufe

β = 70 + 10·log₁₀(5) = 76,99 dB

Antwort

β = 76,99 dB
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: mmax = 2

Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linienabstand

d = 1/600 mm = 1,667 µm

Höchste Ordnung

m ≤ d/λ = 1,667 µm/0,633 µm = 2,633 → mmax = 2

Antwort

mmax = 2

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