Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
3,2 kgk = 400 N/mA = 7 cmx = 1 cm

Eine Masse von 3,2 kg an einer Feder mit k = 400 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 7 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 1 cm von der Ruhelage entfernt ist.

m = 3,2 kgk = 400 N/mA = 7 cmx = 1 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
3,7 kgk = 70 N/mA = 6 cm

Eine Masse von 3,7 kg an einer Feder mit k = 70 N/m wird um 6 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.

m = 3,7 kgk = 70 N/mA = 6 cm
vmax = m/s
3.Wellen, Schall & OptikMittel
θc = ?90°Flintglas, n1​ = 1,62Acrylglas, n2​ = 1,49

Licht trifft in Flintglas (n = 1,62) auf eine ebene Grenzfläche zu Acrylglas (n = 1,49). Bestimme den Grenzwinkel θc, ab dem es total reflektiert wird.

n1 = 1,62n2 = 1,49
θc = °
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
λ = ?81,9°

Ein Gitter mit 600 Linien pro Millimeter zeigt das Maximum der Ordnung 3 einer Spektrallinie unter 81,9° zur Geradeausrichtung. Bestimme die Wellenlänge λ der Linie.

N = 600 mm⁻¹θ3 = 81,9°m = 3
λ = nm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: v = 0,7746 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(400/3,2) = 11,18 rad/s

Geschwindigkeit bei x

v = ω·√(A² − x²) = 11,18·√(0,07² − 0,01²) = 0,7746 m/s

Antwort

v = 0,7746 m/s
2.Federn & Pendel

Antwort: vmax = 0,261 m/s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(70/3,7) = 4,35 rad/s

Maximale Geschwindigkeit

vmax = A·ω = 0,06·4,35 = 0,261 m/s

Antwort

vmax = 0,261 m/s
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: θc = 66,89 °

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Brechung bei 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,49/1,62 = 0,9198

Grenzwinkel

θc = arcsin(0,9198) = 66,89°

Antwort

θc = 66,89°
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: λ = 550 nm

Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Wellenlänge

λ = d·sin θ/m = 1,667 × 10⁻⁶·sin 81,9°/3 = 550 nm

Antwort

λ = 550 nm

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