Arbeitsblatt Zahlentheorie & modulare Arithmetik mit Lösungen

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1.Leicht
aqbr315=?·279+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Bestimme gcd(315, 279) mit dem euklidischen Algorithmus.

a = 315b = 279
gcd(315, 279) =
2.Leicht
0123mod 4

Bestimme 673 mod 4, den Rest r mit 0 ≤ r < 4.

a = 673n = 4
673 mod 4 =
3.Mittel

Bestimme die Eulersche φ-Funktion φ(65), die Anzahl der ganzen Zahlen von 1 bis 65, die zu 65 teilerfremd sind.

n = 65 = 5·13
φ(65) =
4.Mittel

Bestimme das Inverse von 13 modulo 17: die Zahl x mit 0 < x < 17 und 13·x ≡ 1 (mod 17).

a = 13n = 17
13−1 mod 17 =
5.Schwer
mc = me​ mod n27m = cd​ mod n?(n, e) = (55, 13)d

Ein RSA-Schlüssel verwendet p = 5, q = 11 und e = 13. Entschlüssele den Geheimtext c = 27: Bestimme die Nachricht m.

p = 5q = 11e = 13c = 27
m =
6.Schwer
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (989, 19)d = ?

Ein RSA-Schlüssel verwendet die Primzahlen p = 23 und q = 43 und den öffentlichen Exponenten e = 19. Bestimme den privaten Exponenten d (0 < d < φ(n)).

p = 23q = 43e = 19
d =

Lösungsschlüssel

  1. 1. gcd(315, 279) = 9
  2. 2. 673 mod 4 = 1
  3. 3. φ(65) = 48
  4. 4. 13−1 mod 17 = 4
  5. 5. m = 47
  6. 6. d = 535

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