Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 0

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startwert x₀ = 0 an. Bestimme x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
2.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
3.Mittel
xy00,511,52

Nähere ∫02 √x·e−x dx mit der Trapezregel mit n = 4 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 4
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫12 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0005
n =
5.Schwer
00,10,20,30,40,50,6ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,2 für y′ = cos t − y, y(0) = 0,5, um y2 ≈ y(0,4) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,2
y2 =
6.Schwer
00,511,50,60,81ty(0, 1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = cos t − y, y(0) = 1, um y3 ≈ y(1,5) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,5
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 0,5663
  2. 2. c3 = 0,625
  3. 3. T = 0,5829
  4. 4. n = 19
  5. 5. y2 = 0,6527
  6. 6. y3 = 0,6169

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