Problemas de práctica de AP Statistics: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Pruebas de chi cuadrado

Estadístico de contraste: χ² = Σ(O − E)²/E
Bondad de ajuste: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independencia: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisión: rechaza H₀ si χ² > χ²_crit

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 17, 15, 18, 28, 21, 34.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 60 y desviación típica 20. Calcula la puntuación z z de una nota de 50.

μ = 60σ = 20x = 50

z =

3.ProbabilidadMedia

Se lanza un dado equilibrado 7 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?

n = 7

P =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 11 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,3, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 11p = 0,3

P =

5.Distribución normalMedia

Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. ¿Qué fracción está entre 53 y 73 puntos? Da P como número decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 73

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. Halla el valor x por debajo del cual queda el 10 % de los datos (el percentil 10).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 6Σx = 129Σy = 429Σx² = 2931Σy² = 32603Σxy = 9756

r =

8.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (25, 88). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 6(25, 88)

e =

9.Intervalos de confianzaMedia

Se mide la tensión arterial de 13 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 9,7 y desviación típica 2,6. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para la diferencia media.

n = 13d̄ = 9,7s_d = 2,690%t(12) = 1,782

límite inferior = mmHg

10.Intervalos de confianzaDifícil

Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 12 parcelas, rendimiento medio 99 kg, desviación típica 8 kg. Grupo de parcelas 2: 19 parcelas, media 101 kg, desviación típica 8 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 99s₁ = 8n₂ = 19x̄₂ = 101s₂ = 899%t(29) = 2,756

límite superior = kg

11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 50,68 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 50,68s = 4n = 100

t =

12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 99 % para una media tenga un margen de error de como mucho 1? La desviación típica es 10. Calcula el menor tamaño muestral n.

σ = 10E = 199%

n =

13.Pruebas de chi cuadradoMedia

La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Calcula el estadístico de chi cuadrado χ² para la prueba de independencia entre las variables de filas y columnas. No uses corrección por continuidad.

N = 1802 × 3

χ² =

14.Pruebas de chi cuadradoDifícil

Una prueba de chi cuadrado de bondad de ajuste compara las frecuencias observadas en 3 categorías con proporciones esperadas totalmente especificadas (no se estima ningún parámetro a partir de los datos). ¿Cuántos grados de libertad df tiene la prueba?

k = 3

df =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 7,36

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 133/6 = 22,17

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−5,167)² + (−7,167)² + (−4,167)² + 5,833² + (−1,167)² + 11,83² = 270,8

Desviación típica

s = √(270,8/5) = 7,36

Respuesta

s = 7,36

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −0,5

Tipificar

z = (50 − 60)/20 = −0,5

Respuesta

z = −0,5

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,7209

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementario

P(ningún seis) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Respuesta

P = 0,7209

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,113

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,7¹¹ = 0,01977

P(X = 1) = 11·0,3·0,7¹⁰ = 0,09322

Súmalas

P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113

Respuesta

P = 0,113

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,6731

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Área entre ambos valores

P = Φ(0,8) − Φ(−1,2) = 0,7881 − 0,1151 = 0,6731

Respuesta

P = 0,6731

6.Distribución normal

Respuesta: x = 24,31 min

z del percentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Vuelta a x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Respuesta

x = 24,31 min

7.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,966

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 9756 − 129·429/6 = 532,5

S_xx = 2931 − 129²/6 = 157,5

S_yy = 32603 − 429²/6 = 1930

Coeficiente de correlación

r = 532,5/√(157,5·1930) = 0,966

Respuesta

r = 0,966

8.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 2,99

Medias

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 460/6 = 76,67

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 292

Recta de regresión

b = 292/70 = 4,171

a = 76,67 − 4,171·23 = −19,28

ŷ = −19,28 + 4,171·x

Valor predicho

ŷ = −19,28 + 4,171·25 = 85,01

Residuo

e = 88 − 85,01 = 2,99

Respuesta

e = 2,99

El punto está por encima de la recta.

9.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 8,415 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 12, t = 1,782

Margen de error

E = 1,782·2,6/√13 = 1,285

Intervalo

9,7 ± 1,285 → [8,415, 10,99]

Respuesta

límite inferior = 8,415 mmHg

10.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 6,13 kg

Desviación típica combinada

s_p² = (11·8² + 18·8²)/29 = 64

s_p = 8

Margen de error

E = 2,756·8·√(1/12 + 1/19) = 8,13

Intervalo

−2 ± 8,13 → [−10,13, 6,13]

Respuesta

límite superior = 6,13 kg

11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 1,7

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Estadístico de contraste

t = (50,68 − 50)/0,4 = 1,7

Respuesta

t = 1,7

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: n = 664

Despejar n

n = (2,576·10/1)² = 663,6

Redondear hacia arriba

n = 664

Respuesta

n = 664

13.Pruebas de chi cuadrado

Respuesta: χ² = 6,431

Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.

Frecuencias esperadas

estudiantes: 100·54/180 = 30, 100·54/180 = 30, 100·72/180 = 40

personal: 80·54/180 = 24, 80·54/180 = 24, 80·72/180 = 32

Estadístico de chi cuadrado

χ² = (37 − 30)²/30 + (24 − 30)²/30 + (39 − 40)²/40 + (17 − 24)²/24 + (30 − 24)²/24 + (33 − 32)²/32

χ² = 6,431

Respuesta

χ² = 6,431

gl = 2. Con α = 0,05 el valor crítico es 5,991, así que H₀ (independencia) se rechaza.

14.Pruebas de chi cuadrado

Respuesta: df = 2

Grados de libertad

df = 3 − 1 = 2

Respuesta

df = 2

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