Cálculo 2: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Sucesiones y series

Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo multivariable

Derivadas parciales: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direccional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Criterio de la segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (f_x, f_y) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Problemas de práctica

1.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₂¹⁰ 5/x dx.

f(x) = 5/x[2, 10]

I =

2.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región entre la parábola y = 9 − x² y el eje x.

y = 9 − x²

A =

3.Sucesiones y seriesMedia

Halla la suma S = Σ_k=1^∞ 2/(k(k + 4)).

a_k = 2/(k(k + 4))

S =

4.Sucesiones y seriesDifícil

Reconoce la serie y halla su suma: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·1,5^2k+1/(2k + 1)!.

a_k = (−1)ᵏ·1,5^2k+1/(2k + 1)!

S =

5.Cálculo multivariableMedia

Para f(x, y) = 5 sin(x + 3y), halla la máxima tasa de variación de f en el punto (1, 0,5), es decir, |∇f|.

f(x, y) = 5 sin(x + 3y)P = (1, 0,5)

|∇f| =

6.Cálculo multivariableDifícil

Halla los puntos críticos de f(x, y) = x² + xy + 2y² − 2x − y − 3, clasifícalos y da el valor f_min de f en su mínimo local.

f(x, y) = x² + xy + 2y² − 2x − y − 3

f_min =

7.Ecuaciones diferencialesMedia

Una lata de refresco a 3 °C se saca del frigorífico a una habitación a 27 °C. Al cabo de 11 min su temperatura es 17 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.

T₀ = 3 °CT_a = 27 °CT(11) = 17 °C

k = min⁻¹

8.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un depósito contiene 500 L de agua pura. Entra salmuera con 0,25 kg de sal por litro a 4 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Al cabo de cuántos minutos t contiene el depósito 75 kg de sal?

V = 500 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min

t = min

3Disoluciones

1.Integrales

Respuesta: I = 8,047

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 5·ln x

Evaluar en los límites

I = 5·(ln 10 − ln 2) = 5·ln 5 = 8,047

Respuesta

I = 8,047

2.Integrales

Respuesta: A = 36

Ceros

9 − x² = 0 → x = ±3

Integrar

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Respuesta

A = 36

3.Sucesiones y series

Respuesta: S = 1,042

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio de la raíz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Fracciones parciales

2/(k(k + 4)) = (2/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Cancelar

S = (2/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1,042

Respuesta

S = 1,042

4.Sucesiones y series

Respuesta: S = 0,9975

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

Series estándar

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

Sustituir

x = 1,5

S = sin 1,5 = 0,9975

Respuesta

S = 0,9975

5.Cálculo multivariable

Respuesta: |∇f| = 12,67

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es D_uf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Derivadas parciales

f_x = 5 cos(x + 3y) → f_x(1, 0,5) = −4,006

f_y = 15 cos(x + 3y) → f_y(1, 0,5) = −12,02

Longitud del gradiente

|∇f| = √((−4,006)² + (−12,02)²) = 12,67

Respuesta

|∇f| = 12,67

6.Cálculo multivariable

Respuesta: f_min = −4

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple f_x = f_y = 0. Criterio de la segunda derivada con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 y f_xx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Puntos críticos

Resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez.

f_x = 2x + y − 2 = 0

f_y = x + 4y − 1 = 0

(1, 0)

Criterio de la segunda derivada

(1, 0): f_xx = 2, f_yy = 4, f_xy = 1, D = 7 → mínimo local

Valor en el extremo

f(1, 0) = −4

Respuesta

f_min = −4

7.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: k = 0,07959 min⁻¹

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Cociente de diferencias de temperatura

e^−11k = -10/-24

Despeja k

k = ln(-24/-10)/11 = 0,07959 min⁻¹

Respuesta

k = 0,07959 min⁻¹

8.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: t = 114,5 min

Resultado

m(t) = 125 + (−125)·e^−t/125

Despeja t

e^−t/125 = (125 − 75)/(125 − 0) = 0,4

t = 125·ln(2,5) = 114,5 min

Respuesta

t = 114,5 min

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