Cálculo 2: problemas de práctica y preguntas de examen

El segundo curso de cálculo: técnicas de integración, sucesiones y series con criterios de convergencia, series de potencias y polinomios de Taylor, y cálculo en varias variables con derivadas parciales, gradientes, puntos críticos e integrales dobles. Según el plan de estudios, parte de esta materia se imparte como Cálculo 3.

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Pack de repaso (PDF)Hojas de fórmulas, pasos de los métodos y problemas de práctica con soluciones completas, listos para imprimir.

Temas de esta asignatura

  1. Integralespolinomios · exponenciales, logaritmos y sustitución · áreas entre curvascálculos
  2. Sucesiones y seriesseries aritméticas y geométricas · convergencia y series de potencias · polinomios de Taylor y de Maclaurincálculos
  3. Cálculo multivariablederivadas parciales e integrales dobles · gradiente, plano tangente y regla de la cadena · puntos críticos e integrales sobre regionescálculos
  4. Ecuaciones diferencialescrecimiento y decrecimiento exponencial · Ley de enfriamiento de Newton · lineales de primer ordencálculos

Consejos para el examen de Cálculo 2

  • Antes de cualquier criterio de convergencia, comprueba que los términos tienden a 0; si no, la serie diverge.
  • Escribe el polinomio de Taylor con los factoriales en su sitio antes de sustituir un número.
  • En una integral doble, dibuja primero la región: el dibujo da los límites de la integral interior.

Ejemplos resueltos

IntegralesFácil
xy3y = 0,5x

La región bajo y = 0,5x desde x = 0 hasta x = 3 gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido (un cono).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Calcula V

Mostrar pistas
  1. Una rebanada en x es un disco de radio y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Método de los discos

V = π∫₀3 0,25x² dx

Integrar

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Respuesta

V = 7,069

Comprobación: un cono de radio 1,5 y altura 3 tiene (1/3)πr²h = 7,069.

Sucesiones y seriesMedia
kSn​12345678910S = ?

Halla la suma S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calcula S

Mostrar pistas
  1. Fracciones simples: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Escribe los primeros términos: la mayoría se cancelan (una suma telescópica).
  3. Lo que queda es (12/3)·(1 + … + 1/3).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Fracciones parciales

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Cancelar

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Respuesta

S = 7,333

Cómo funciona la práctica

  • «Practicar esta asignatura» mezcla problemas de todos sus temas, como en un examen real.
  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Los simulacros de examen son cronometrados y no tienen pistas; al final recibes tu nota y una revisión completa.

Calculadoras para esta asignatura

Calculadora de periodo de semidesintegración y decaimiento exponencialCalculadora de integrales (definidas e indefinidas)

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