Sucesiones y series: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: series numéricas · criterios de convergencia · serie de Taylor

Problemas gratis de Sucesiones y series con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: series aritméticas y geométricas, convergencia y series de potencias, polinomios de Taylor y de Maclaurin.

Problema de práctica gratisFácil
kak​12345678

Halla la suma S8 de los primeros 8 términos de la sucesión geométrica 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
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Qué practicas

  1. Fácilseries aritméticas y geométricas
  2. Mediaconvergencia y series de potencias
  3. Difícilpolinomios de Taylor y de Maclaurin

Cómo resolver problemas de Sucesiones y series

  1. Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
  2. Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
  3. Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
  4. Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Errores frecuentes

  • Usar n en lugar de n − 1 en aₙ = a₁ + (n − 1)d o a₁rⁿ⁻¹.
  • Usar la fórmula de la suma infinita cuando |r| ≥ 1, o con el primer término equivocado.
  • Concluir la convergencia solo porque los términos tienden a 0.
  • Invertir el límite del criterio del cociente: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, no su inverso.
  • Olvidar los factoriales o los signos alternos en un polinomio de Taylor.

Fórmulas clave

Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Aprende Sucesiones y series desde cero

Antes de esto: Límites, Derivadas

1Sucesiones aritméticas y geométricas

Una sucesión es una lista de números a₁, a₂, a₃, … y una serie es su suma. Dos tipos aparecen en todos los exámenes.

Una sucesión aritmética suma la misma diferencia d en cada paso: 3, 7, 11, 15, … tiene d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Para 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 y S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Fíjate en el n − 1: del primer al vigésimo término solo hay 19 pasos.

Una sucesión geométrica multiplica por la misma razón r en cada paso: 2, 6, 18, … tiene r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Autoevaluación ¿Cuál es el décimo término de 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Respuesta: 32. d = 3, así que a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Usar 10·3 en lugar de 9·3 da 35.

2Series geométricas infinitas

Si sigues sumando términos de 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + …, la suma se acerca a 4 sin superarlo nunca.

nSₙ4123456789233,5

Cuando |r| < 1 el término rⁿ de Sₙ tiende a 0 y existe la suma infinita:

S = a₁/(1 − r), solo si |r| < 1

Aquí a₁ es el primer término de la suma. Para Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ el primer término es 8·(1/2)² = 2, así que S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Cuando |r| ≥ 1 los términos no disminuyen y la serie no tiene suma: diverge.

Autoevaluación ¿Cuánto es Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Respuesta: 4. El primer término (k = 0) es 3 y r = 1/4, así que S = 3/(1 − 1/4) = 4. Usar 1 + r en el denominador da 2,4.

3¿Converge una serie?

La mayoría de las series no tienen una fórmula sencilla para su suma, pero aun así puedes decidir si la suma es finita. Usa los criterios en este orden:

  1. Criterio del término n-ésimo: si los términos no tienden a 0, la serie diverge. Σ k/(k + 1) diverge porque sus términos tienden a 1.
  2. Series estándar: Σ1/kᵖ converge solo para p > 1 (así que Σ1/k, la serie armónica, diverge). Σrᵏ converge solo para |r| < 1.
  3. Comparación: 1/(k² + 3) es menor que 1/k², así que Σ1/(k² + 3) también converge.
  4. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no da respuesta. Úsalo para factoriales y potencias k-ésimas.
  5. Series alternadas: Σ(−1)ᵏ/k converge, porque los términos alternan de signo y decrecen hacia 0.

Ejemplo: para Σ k/2ᵏ el cociente es ((k + 1)/k)·(1/2), que tiende a L = 1/2 < 1, así que converge.

Autoevaluación ¿Cuál de estas series diverge?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Respuesta: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 es una serie p con p = 1/2 ≤ 1, así que diverge. 1/k² tiene p = 2, (2/3)ᵏ es geométrica con r < 1, y el criterio del cociente da L = 0 para 3ᵏ/k!.

4Series de potencias y radio de convergencia

Una serie de potencias Σ ck(x − x₀)ᵏ es un polinomio sin fin. Converge para x suficientemente cerca del centro x₀.

El criterio del cociente aplicado a todo el término da el radio de convergencia R: la serie converge para |x − x₀| < R y diverge para |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Ejemplo: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) tiene ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, que tiende a 3. Así que R = 3 y la serie converge para −3 < x < 3.

En los dos extremos el criterio no da respuesta; compruébalos por separado si la pregunta pide el intervalo completo.

5polinomios de Taylor y de Maclaurin

Cerca de un punto a, una función suave se parece a un polinomio. El polinomio de Taylor de grado n coincide con el valor y las n primeras derivadas en a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Para a = 0 se llama polinomio de Maclaurin. Aprende de memoria estas series:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Cuantos más términos tomes, durante más tiempo se mantiene el polinomio cerca de la función.

Ejemplo resuelto

Aproxima e0,5 con el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acota el error.

1

Escribe el polinomio

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Sustituye x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Cota del error de Lagrange

El error es como máximo M·|x|⁴/4!, donde M es el mayor valor de la cuarta derivada eᵗ entre 0 y 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Compara

La calculadora da e0,5 = 1,648721, así que el error real es 0,0029, dentro de la cota.

Respuesta

e0,5 ≈ 1,6458, con un error de como máximo 0,0043.

6Errores comunes y preguntas de examen

  • Usar n en lugar de n − 1 pasos para el término n-ésimo.
  • Escribir a/(1 − r) con el primer término equivocado cuando la suma no empieza en k = 0.
  • Concluir que una serie converge porque sus términos tienden a 0. Σ1/k es el contraejemplo.
  • Olvidar los factoriales en un polinomio de Taylor, o los signos menos del seno y del coseno.
  • Usar |x|ⁿ/n! en lugar de |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! en la cota del error.

Fácil: sumas de sucesiones aritméticas y geométricas. Medio: decidir la convergencia, el criterio del cociente y el radio de convergencia. Difícil: polinomios de Taylor, sus coeficientes y cotas del error.

Autoevaluación ¿Cuál es el coeficiente de x³ en la serie de Maclaurin de sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Respuesta: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, y 3! = 6, así que el coeficiente es −1/6. Olvidar el signo menos da 1/6.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
kak​13579111315ε = 0,2

La sucesión geométrica aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ es decreciente. Halla el primer índice n para el que aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Calcula n

Mostrar pistas
  1. Resuelve 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 con logaritmos.
  2. ln 0,85 es negativo: dividir entre él invierte la desigualdad.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Series aritméticas y geométricas: una sucesión aritmética suma la misma diferencia d en cada paso, aₙ = a₁ + (n − 1)d, y su suma es Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Una sucesión geométrica multiplica por la misma razón r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, con Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Cuando |r| < 1 los términos disminuyen lo bastante rápido para que exista la suma infinita: S = a₁/(1 − r), donde a₁ es el primer término de la suma.

Desigualdad

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logaritmos

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Comprobación

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Respuesta

n = 21
Ejemplo 2Media
kSn​12345678910S = ?

Halla la suma S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calcula S

Mostrar pistas
  1. Fracciones simples: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Escribe los primeros términos: la mayoría se cancelan (una suma telescópica).
  3. Lo que queda es (12/3)·(1 + … + 1/3).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Fracciones parciales

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Cancelar

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Respuesta

S = 7,333
Ejemplo 3Difícil

f(x) = cos x se aproxima en x = 1 por su polinomio de Maclaurin de grado n. Con la cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y M = 1, halla el menor grado n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Calcula n

Mostrar pistas
  1. Prueba n = 1, 2, 3, … y calcula 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! cada vez.
  2. El factorial crece rápido, así que bastan unos pocos pasos.
  3. Detente en el primer n en que la cota sea inferior a 1 × 10⁻⁶.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

n(n + 1)!cota011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Cotas para n creciente

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Menor grado

n = 9

Respuesta

n = 9

Preguntas y respuestas

Sucesiones y series: ¿qué es?

Una sucesión es una lista de números a₁, a₂, a₃, … y una serie es su suma. Dos tipos aparecen en todos los exámenes.

Una sucesión aritmética suma la misma diferencia d en cada paso: 3, 7, 11, 15, … tiene d = 4.

Sucesiones y series: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
  2. Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
  3. Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
  4. Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Sucesiones y series: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Usar n en lugar de n − 1 en aₙ = a₁ + (n − 1)d o a₁rⁿ⁻¹.
  • Usar la fórmula de la suma infinita cuando |r| ≥ 1, o con el primer término equivocado.
  • Concluir la convergencia solo porque los términos tienden a 0.
  • Invertir el límite del criterio del cociente: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, no su inverso.
  • Olvidar los factoriales o los signos alternos en un polinomio de Taylor.
Sucesiones y series: ¿qué se practica?
  • Fácil: series aritméticas y geométricas
  • Media: convergencia y series de potencias
  • Difícil: polinomios de Taylor y de Maclaurin

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