Pruebas de chi cuadrado: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: prueba chi cuadrado · ji cuadrado · prueba χ²
Problemas gratis de Pruebas de chi cuadrado con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: bondad de ajuste, prueba de independencia, decisión con el valor crítico.
Problema de práctica gratisFácil
Un fabricante de caramelos afirma que las proporciones de colores son las de la tabla. Una muestra aleatoria de 200 caramelos da las frecuencias observadas. Calcula el estadístico de chi cuadrado de bondad de ajuste χ² para H₀: las proporciones afirmadas son correctas.
Una prueba de chi cuadrado (χ²) compara frecuencias. Pregunta si las frecuencias que observas difieren de las que esperas en más de lo que explicaría el azar.
Ejemplo: lanzas un dado 60 veces. Si es equilibrado, cada cara debería salir unas 60 · 1/6 = 10 veces. Esas son las frecuencias esperadas E.
Observas 8, 12, 9, 11, 6 y 14. Son las frecuencias observadas O. Nunca son exactamente 10, ni siquiera con un dado equilibrado. La cuestión es si se alejan demasiado.
Como en cualquier contraste de hipótesis, H₀ dice que no pasa nada especial: el dado es equilibrado, o dos variables son independientes.
Autoevaluación Se lanza un dado 120 veces para contrastar si es equilibrado. ¿Cuál es la frecuencia esperada de cada cara?
1/6
120
20
6
Respuesta: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. La probabilidad 1/6 no es una frecuencia; hay que multiplicarla por el número de lanzamientos.
2El estadístico de contraste
Para cada categoría, toma la diferencia O − E, elévala al cuadrado y divídela entre E. Después suma todas las categorías:
χ² = Σ (O − E)² / E
Elevar al cuadrado hace positivo cada término. Dividir entre E hace que una diferencia de 4 pese más cuando se esperaban solo 10 que cuando se esperaban 1000.
Los grados de libertad de este contraste de bondad de ajuste son gl = k − 1, donde k es el número de categorías. Seis caras dan gl = 5.
Un χ² grande significa que los datos se ajustan mal a H₀. Rechaza H₀ si χ² es mayor que el valor crítico de la tabla. Con α = 0,05:
gl 1: 3,841, gl 2: 5,991, gl 3: 7,815
gl 4: 9,488, gl 5: 11,070, gl 6: 12,592
Para el dado, 4,2 está por debajo de 11,070, así que no hay evidencia de que sea trucado.
Autoevaluación Una categoría tiene O = 14 y E = 10. ¿Cuánto añade a χ²?
0,4
1,6
16
4
Respuesta: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Si olvidas elevar al cuadrado, da 0,4, y si olvidas dividir entre E, da 16.
3El contraste de independencia
Una tabla de contingencia cuenta los casos según dos variables a la vez, como el tratamiento (filas) y el resultado (columnas). H₀: las dos variables son independientes.
Si son independientes, la frecuencia esperada en cada celda se obtiene de los totales:
E = total de fila × total de columna / total general
Después se calcula χ² con la misma fórmula que antes, sobre todas las celdas de la tabla, sin contar los totales.
df = (r − 1)(c − 1)
Aquí r es el número de filas y c el de columnas, sin contar los totales. Una tabla de 2×2 tiene gl = 1.
Autoevaluación En una tabla con total general 120, una celda tiene un total de fila de 40 y un total de columna de 30. ¿Cuál es su frecuencia esperada?
10
1200
3
70
Respuesta: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 olvida dividir entre el total general.
4El método paso a paso
Enuncia H₀: las proporciones declaradas son correctas (bondad de ajuste), o las variables son independientes.
Calcula todas las frecuencias esperadas: E = n · p, o total de fila × total de columna / total general.
Para cada celda, calcula (O − E)²/E. Súmalas todas para obtener χ².
Halla gl: k − 1 para la bondad de ajuste, (r − 1)(c − 1) para la independencia.
Busca el valor crítico para ese gl con α = 0,05.
Rechaza H₀ si χ² es mayor que el valor crítico. Enuncia la conclusión con palabras.
Comprobación: las frecuencias esperadas de cada fila y cada columna suman los mismos totales que las observadas.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
En un ensayo, 120 pacientes reciben un fármaco nuevo (fila A) y 100 reciben un placebo (fila B). La columna 1 cuenta los pacientes que mejoraron y la columna 2 los que no. Contrasta con α = 0,05 si el resultado es independiente del tratamiento.
1
Lee la tabla
Totales de fila: 120 y 100. Totales de columna: 110 y 110. Total general: 220.
1,173 es menor que 3,841, así que χ² no está en la región de rechazo. No se rechaza H₀.
Respuesta
χ² ≈ 1,17 < 3,841: no hay evidencia significativa de que la mejoría dependa del tratamiento.
6Errores frecuentes
Usar porcentajes o proporciones en lugar de frecuencias. χ² solo funciona con frecuencias.
Dividir entre O en lugar de entre E.
Incluir la fila o la columna de totales en la suma.
Usar un gl incorrecto: en una tabla es (r − 1)(c − 1), no el número de celdas menos uno.
Rechazar H₀ cuando χ² es menor que el valor crítico. Solo un χ² grande es evidencia contra H₀.
Autoevaluación Un contraste de independencia usa una tabla con 3 filas y 4 columnas (sin contar los totales). ¿Cuántos grados de libertad tiene?
11
12
5
6
Respuesta: 6. gl = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11 es el número de celdas menos uno, que es la regla de la bondad de ajuste aplicada por error a una tabla.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: bondad de ajuste. Frecuencias de las caras de un dado o de los colores de unos caramelos frente a proporciones declaradas; calcula χ².
Medio: el contraste de independencia. Calcula las frecuencias esperadas a partir de los totales y después χ², sin corrección de continuidad.
Difícil: la decisión con el valor crítico. Halla gl y el valor crítico χ²crít con α = 0,05 a partir de la tabla.
Una comprobación rápida: χ² nunca es negativo, y es 0 solo cuando cada frecuencia observada es igual a su frecuencia esperada.
Se lanza un dado 300 veces para comprobar si está equilibrado. Se muestran las frecuencias de cada cara. Calcula el estadístico de chi cuadrado de bondad de ajuste χ² para H₀: cada cara tiene probabilidad 1/6.
n = 300k = 6
Calcula χ²
Mostrar pistas
Frecuencias esperadas bajo H₀: E = n·p para cada categoría.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Suma (O − E)²/E en todas las categorías.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
gl = 5. Con α = 0,05 el valor crítico es 11,070, así que H₀ no se rechaza.
Ejemplo 2Media
La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Calcula el estadístico de chi cuadrado χ² para la prueba de independencia entre las variables de filas y columnas. No uses corrección por continuidad.
N = 1802 × 2
Calcula χ²
Mostrar pistas
Frecuencia esperada de cada casilla: E = total de fila × total de columna / total general.
E = 32, 48 | 40, 60.
Suma (O − E)²/E en las 4 casillas.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
gl = 1. Con α = 0,05 el valor crítico es 3,841, así que H₀ (independencia) no se rechaza.
Ejemplo 3Difícil
Se realiza una prueba de chi cuadrado de independencia sobre una tabla de contingencia con 2 filas y 6 columnas (sin contar los totales). ¿Cuántos grados de libertad df tiene la prueba?
2 × 6
Calcula df
Mostrar pistas
Los grados de libertad cuentan cuántas casillas pueden variar libremente una vez fijados los totales (y los parámetros estimados).
Bondad de ajuste: k − 1, menos uno por cada parámetro estimado.
Independencia: (r − 1)(c − 1).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Grados de libertad
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Respuesta
df = 5
Preguntas y respuestas
Pruebas de chi cuadrado: ¿qué es?
Una prueba de chi cuadrado (χ²) compara frecuencias. Pregunta si las frecuencias que observas difieren de las que esperas en más de lo que explicaría el azar.
Ejemplo: lanzas un dado 60 veces. Si es equilibrado, cada cara debería salir unas 60 · 1/6 = 10 veces. Esas son las frecuencias esperadas E.
Pruebas de chi cuadrado: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Pruebas de chi cuadrado: ¿cuáles son los errores más comunes?
Divide cada diferencia al cuadrado entre la frecuencia esperada E, no entre la observada O.
Divide cada diferencia al cuadrado entre su propia frecuencia esperada E antes de sumar, no el total entre n.
Las frecuencias esperadas salen de los totales marginales, no de repartir el total por igual: E = total de fila × total de columna / total general.
Pruebas de chi cuadrado: ¿qué se practica?
Fácil: bondad de ajuste
Media: prueba de independencia
Difícil: decisión con el valor crítico
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.