Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: prueba de hipótesis · prueba t de Student · valor p

Problemas gratis de Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: estadístico z, estadístico t, intervalos de confianza.

Problema de práctica gratisFácil
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Un proveedor afirma que la resistencia media a la rotura de un cable es 50 kN; sospechas que es mayor. Se sabe que la desviación típica es 8 kN. Vas a tomar una muestra de 25 cables y contrastar H₀: μ = 50 kN frente a H₁: μ > 50 kN con α = 0,05. ¿Por encima de qué media muestral x̄c rechazarás H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
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Qué practicas

  1. Fácilestadístico z
  2. Mediaestadístico t
  3. Difícilintervalos de confianza

Cómo resolver problemas de Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

  1. Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
  2. Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
  3. Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
  4. Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Errores frecuentes

  • Usar un valor crítico unilateral en un contraste bilateral.
  • Decir que H₀ queda demostrada cuando no se rechaza.
  • Olvidar √n en el error típico.

Fórmulas clave

Contraste z para una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Contraste t para una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%
rechaza H0 si |z| > 1,96
Intervalo de confianza
x̄ ± z·σ/√n

Aprende Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza desde cero

Antes de esto: Intervalos de confianza

1La idea de un contraste

Una máquina debe llenar botellas con 500 mL de media. Una muestra de botellas tiene una media de 496 mL. ¿Se equivoca la máquina, o es solo casualidad?

Un contraste de hipótesis responde a esa pregunta con números. Partes de dos enunciados:

  • La hipótesis nula H₀: no ha cambiado nada. Aquí H₀: μ = 500.
  • La hipótesis alternativa H₁: lo que sospechas. Aquí H₁: μ ≠ 500 (bilateral), o μ < 500 si solo te preocupa que se llene de menos (unilateral).

Supones que H₀ es cierta y preguntas: ¿cómo de inusual es esta muestra? Si fuera muy inusual, rechazas H₀.

Autoevaluación Un proveedor afirma que sus resistencias son de 220 Ω de media. Quieres contrastar esta afirmación. ¿Cuál es H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Respuesta: μ = 220 Ω. H₀ es la afirmación que se contrasta, sobre la media poblacional μ. μ ≠ 220 Ω es la alternativa H₁, y una hipótesis nunca trata de la media muestral x̄, que ya conoces.

2El estadístico de contraste

El estadístico de contraste mide a qué distancia está la media muestral de μ₀, el valor de H₀, en unidades del error estándar.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Usa z cuando se conoce la desviación típica poblacional σ. Cuando solo se conoce la desviación típica muestral s, usa t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Un valor de z o t cercano a 0 significa que la muestra concuerda con H₀. Un valor positivo o negativo grande significa que la muestra está lejos de μ₀.

Autoevaluación H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 y x̄ = 118. ¿Cuánto vale z?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Respuesta: −1. El error estándar es 8/√16 = 2, así que z = (118 − 120)/2 = −1. Dividir entre σ = 8 en lugar de σ/√n da −0,25. El signo es negativo porque x̄ está por debajo de μ₀.

3Decidir: valores críticos y valores p

Antes de mirar los datos, elige el nivel de significación α, normalmente 0,05. Es el riesgo que aceptas de rechazar una H₀ verdadera.

Para un contraste z con α = 0,05:

  • Bilateral (H₁: μ ≠ μ₀): rechaza H₀ si |z| > 1,96.
  • Unilateral (H₁: μ > μ₀): rechaza H₀ si z > 1,645. Para μ < μ₀: rechaza si z < −1,645.

El valor p es la probabilidad de un resultado al menos tan extremo si H₀ es cierta. Rechaza H₀ cuando p < α.

No rechazar H₀ no la demuestra. Solo significa que los datos no son una prueba lo bastante fuerte en su contra.

Un contraste y un intervalo de confianza concuerdan: un contraste bilateral al 5 % rechaza H₀ exactamente cuando μ₀ queda fuera del intervalo del 95 % x̄ ± 1,96 · σ/√n.

Autoevaluación Un contraste z bilateral con α = 0,05 da z = 1,8. ¿Qué concluyes?
  1. H₀ queda demostrada como cierta
  2. No rechazar H₀
  3. Rechazar H₀
  4. Rechazar H₁ y aceptar H₀ como demostrada

Respuesta: No rechazar H₀. |1,8| es menor que 1,96, así que el resultado no es significativo y H₀ no se rechaza. Eso no demuestra H₀; la evidencia simplemente no es lo bastante fuerte.

4El método paso a paso

  1. Enuncia H₀ y H₁, y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
  2. Elige z (σ conocida) o t (solo se conoce s, gl = n − 1).
  3. Calcula el error estándar σ/√n o s/√n.
  4. Calcula el estadístico de contraste (x̄ − μ₀) / error estándar.
  5. Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
  6. Enuncia la conclusión con palabras, en términos de la pregunta.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Una máquina debe llenar botellas con 500 mL de media. σ = 12 mL. Una muestra de 36 botellas tiene una media de 496 mL. Contrasta H₀: μ = 500 frente a H₁: μ ≠ 500 con α = 0,05.

1

Hipótesis

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Es bilateral, así que los valores críticos son ±1,96.

2

Error típico

Se conoce σ, así que usa z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Estadístico de contraste

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Compara

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 es mayor que 1,96, así que z está en la región de rechazo sombreada.

5

Comprueba con un intervalo

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

El valor 500 queda fuera del intervalo del 95 %, así que el intervalo da la misma decisión.

Respuesta

z = −2. Se rechaza H₀ al nivel del 5 %: el llenado medio de la máquina es distinto de 500 mL.

6Errores frecuentes

  • Usar un valor crítico unilateral (1,645) para un contraste bilateral, o al revés.
  • Decir que H₀ queda demostrada cuando no se rechaza.
  • Olvidar √n en el error típico.
  • Escribir x̄ − μ₀ al revés, lo que invierte el signo de z.
  • Usar z cuando solo se conoce la s muestral en una muestra pequeña.
Autoevaluación Un contraste unilateral con H₁: μ > μ₀ y α = 0,05 da z = 1,8. ¿Qué concluyes?
  1. No rechazar H₀, porque 1,8 < 1,96
  2. No rechazar H₀, porque 1,8 < 2,576
  3. Rechazar H₀, porque 1,8 > 1,645
  4. Rechazar H₀, porque z es positiva

Respuesta: Rechazar H₀, porque 1,8 > 1,645. Un contraste unilateral al 5 % pone todo el 5 % en una cola, así que el valor crítico es 1,645. Comparar con 1,96 usa por error el valor bilateral.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: el estadístico z. Se conoce σ; calcula z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Medio: el estadístico t. Solo se da la desviación típica muestral s; calcula t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Difícil: intervalos de confianza. Halla el límite inferior o superior de x̄ ± z · σ/√n al 95 % o al 99 %.

Una comprobación rápida: si x̄ está por debajo de μ₀, el estadístico de contraste debe ser negativo.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
z −1,9601,96

Una máquina debe llenar botellas con 100 mL de media. Se sabe que la desviación típica es 4 mL. Una muestra de 81 botellas tiene una media de 99,6 mL. Calcula el estadístico de contraste z para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Calcula z

Mostrar pistas
  1. El error típico de la media es la desviación típica dividida entre √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Luego divide la diferencia x̄ − μ₀ entre el error típico. Mantén el signo.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Estadístico de contraste

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Respuesta

z = −0,9

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

Ejemplo 2Media
t −1,99801,998

Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 504,5 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Calcula t

Mostrar pistas
  1. El error típico de la media es la desviación típica dividida entre √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Luego divide la diferencia x̄ − μ₀ entre el error típico. Mantén el signo.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Estadístico de contraste

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Respuesta

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

Ejemplo 3Difícil
z −2,57602,576

Una muestra de 64 medidas tiene media 80. La desviación típica poblacional es 20. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Calcula L

Mostrar pistas
  1. Intervalo de confianza: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 para 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Margen de error

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Límite del intervalo

L = 80 − 6,44 = 73,56

Respuesta

L = 73,56

Preguntas y respuestas

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza: ¿qué es?

Una máquina debe llenar botellas con 500 mL de media. Una muestra de botellas tiene una media de 496 mL. ¿Se equivoca la máquina, o es solo casualidad?

Un contraste de hipótesis responde a esa pregunta con números. Partes de dos enunciados:

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
  2. Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
  3. Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
  4. Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Usar un valor crítico unilateral en un contraste bilateral.
  • Decir que H₀ queda demostrada cuando no se rechaza.
  • Olvidar √n en el error típico.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza: ¿qué se practica?
  • Fácil: estadístico z
  • Media: estadístico t
  • Difícil: intervalos de confianza

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