Aprende Vectores: producto escalar y vectorial desde cero
1Qué es un vector
Algunas magnitudes solo necesitan un número: una masa de 5 kg o una temperatura de 20 °C. Son escalares.
Otras magnitudes necesitan además una dirección. Una fuerza de 40 N que empuja hacia arriba es muy distinta de 40 N que empujan de lado. Son vectores.
Un vector se describe con sus componentes: hasta dónde llega a lo largo de x, de y y de z. El vector a = (4, 3, 0) llega 4 unidades en x, 3 en y y 0 en z.
Las fuerzas, los desplazamientos y las velocidades son vectores. Los ingenieros usan las matemáticas vectoriales para sumar fuerzas, hallar ángulos y calcular momentos en tres dimensiones.
Los vectores se suman componente a componente: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Así se halla la resultante de varias fuerzas.
Autoevaluación ¿Cuál es la longitud del vector a = (3, 4, 0)?
- 1
- 25
- 5
- 7
Respuesta: 5. La longitud es √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Sumar las componentes (7) es incorrecto porque son perpendiculares, y 25 olvida la raíz cuadrada.
2Longitud, dirección y componentes
El módulo |a| es la longitud del vector. Es Pitágoras en tres dimensiones:
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Un vector unitario tiene longitud 1 y apunta en la misma dirección. Se obtiene dividiendo cada componente entre el módulo:
û = a / |a|
Para a = (0, 3, 4) el módulo es 5, así que û = (0; 0,6; 0,8). Comprobación: 0,6² + 0,8² = 1.
Una fuerza en el plano xy suele darse como un tamaño F y un ángulo θ, medido en sentido antihorario desde el eje x positivo. Sus componentes son:
Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ
El coseno y el seno dan los signos automáticamente. Una fuerza a 120° tiene componente x negativa porque cos 120° = −0,5.
Al volver de las componentes a un ángulo, arctan(Ry/Rx) solo da respuestas entre −90° y 90°. Si Rx es negativa, suma 180°. Si solo Ry es negativa, suma 360°.
Autoevaluación ¿Cuál es la componente y del vector unitario en la dirección de a = (0, 3, 4)?
- 0,12
- 0,43
- 0,6
- 3
Respuesta: 0,6. Divide entre el módulo 5: 3/5 = 0,6. 3 olvida dividir, 0,12 divide entre |a|² = 25, y 0,43 divide entre la suma de las componentes (7).
3El producto escalar y el producto vectorial
Hay dos maneras de multiplicar dos vectores. El producto escalar da un número. El producto vectorial da un vector nuevo.
a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ
Aquí θ es el ángulo entre los dos vectores. El producto escalar mide cuánto apuntan los vectores en el mismo sentido. Es cero cuando son perpendiculares.
- El ángulo: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
- La proyección escalar de a sobre b (la parte de a a lo largo de b): a·b / |b|.
- El trabajo realizado por una fuerza constante en un desplazamiento: W = F·d.
- Dos vectores son perpendiculares cuando a·b = 0.
El producto vectorial a × b es un vector perpendicular a a y a b. Su longitud es igual al área del paralelogramo que generan los dos vectores.
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Para a = (1, 2, 0) y b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). El paralelogramo tiene área 5 y el triángulo la mitad, 2,5.
El orden importa: b × a = −(a × b). El momento de una fuerza F que actúa en el punto A respecto al punto O es M = r × F, con r = A − O.
Autoevaluación Para a = (2, 1, 0) y b = (1, 4, 0), ¿cuál es la componente z de a × b?
- 6
- 7
- 9
- −7
Respuesta: 7. componente z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 es b × a (con el orden cambiado), 6 es el producto escalar, y 9 suma los dos productos en lugar de restarlos.
4El método paso a paso
- Escribe cada vector en componentes. Para una fuerza dada por su tamaño y un ángulo, usa F·cos θ y F·sen θ.
- Si la pregunta da puntos, construye los vectores a partir de ellos: el vector de A a B es B − A.
- Decide qué herramienta necesitas. Longitudes y direcciones: módulo y vector unitario. Ángulos, proyecciones y trabajo: producto escalar. Áreas, vectores perpendiculares y momentos: producto vectorial.
- Escribe primero la fórmula y luego sustituye los números componente a componente. Mantén los signos entre paréntesis.
- Comprueba el resultado: un vector unitario tiene longitud 1, a × b es perpendicular a a (así que a·(a × b) = 0), y el ángulo entre vectores está entre 0° y 180°.
Para un vector unitario perpendicular a dos vectores, toma n = a × b y divídelo entre su longitud. Si la pregunta quiere una componente z positiva y la tuya es negativa, cambia todos los signos.
El volumen del paralelepípedo con aristas a, b y c es |a·(b × c)|: primero el producto vectorial, luego el producto escalar.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resueltoUna fuerza constante F = (6, 2, −3) N empuja un objeto en línea recta desde el punto A(1, 0, 2) hasta el punto B(3, 4, 2). Las coordenadas están en metros. Halla el trabajo W realizado por la fuerza y el ángulo θ entre la fuerza y el desplazamiento.
1El desplazamiento es el vector de A a B: resta el inicio al final.
d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2El trabajo es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento. Multiplica las componentes correspondientes y suma.
W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4Usa la otra forma del producto escalar, F·d = |F|·|d|·cos θ, y despeja cos θ.
cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5El trabajo es positivo, así que el ángulo debe ser menor de 90°. Lo es.
La parte de la fuerza en la dirección del movimiento es |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Multiplicada por la distancia 4,472 m vuelve a dar 20 J.
Respuesta W = 20 J y θ ≈ 50,3°.
6Errores frecuentes
- Sumar módulos en lugar de componentes. Dos fuerzas de 3 N y 4 N en ángulo recto dan 5 N, no 7 N.
- Usar las coordenadas del punto en lugar de r = A − O en un momento.
- Equivocarse con el signo de la componente central (y) de un producto vectorial. Es azbx − axbz, no al revés.
- Cambiar el orden en un producto vectorial. b × a apunta en sentido contrario a a × b.
- Tomar arctan para una dirección sin comprobar en qué cuadrante está el vector.
- Olvidar el ½ en el área de un triángulo: es la mitad de |AB × AC|.
Autoevaluación Una fuerza F = (0, 10, 0) N actúa en el punto A(3, 0, 0) m. ¿Cuál es el módulo de su momento respecto a O(1, 0, 0) m?
- 10 N·m
- 20 N·m
- 30 N·m
- 40 N·m
Respuesta: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, así que M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Usar el propio punto A como r da 30 N·m, A + O da 40 N·m, y solo O da 10 N·m.
7Cómo son las preguntas de examen
- Fácil: módulo y componentes. La longitud de un vector, una componente de un vector unitario, una componente de una fuerza dada por su tamaño y un ángulo, o el módulo o la dirección de la resultante de dos fuerzas.
- Medio: el producto escalar. Un producto escalar, el ángulo entre dos vectores, una proyección escalar, el trabajo de una fuerza entre dos puntos, o el valor de k que hace perpendiculares dos vectores.
- Difícil: el producto vectorial y los momentos. Una componente de a × b, el área de un paralelogramo o un triángulo, el momento de una fuerza respecto a un punto, un vector normal unitario, o el volumen de un paralelepípedo con un producto mixto.
En una pregunta de perpendicularidad, pon a·b = 0. Da una ecuación lineal en k.
Para un triángulo con vértices A, B y C, usa los vectores de arista AB = B − A y AC = C − A. El área es ½·|AB × AC|.
Apréndelo paso a paso en la appApréndelo paso a paso en la app