Cálculo multivariable: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: derivadas parciales · integrales dobles · funciones de varias variables

Problemas gratis de Cálculo multivariable con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: derivadas parciales e integrales dobles, gradiente, plano tangente y regla de la cadena, puntos críticos e integrales sobre regiones.

Problema de práctica gratisFácil
xy3−3P

Para f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy, halla la derivada parcial ∂f/∂x en el punto (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
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Qué practicas

  1. Fácilderivadas parciales e integrales dobles
  2. Mediagradiente, plano tangente y regla de la cadena
  3. Difícilpuntos críticos e integrales sobre regiones

Cómo resolver problemas de Cálculo multivariable

  1. En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
  2. En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (fx, fy) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
  3. Para los extremos resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = fxx·fyy − fxy².
  4. En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Errores frecuentes

  • Derivar la variable que debía mantenerse constante.
  • Olvidar normalizar el vector de dirección.
  • Escribir D = fxx·fyy + fxy² o llamar extremo a un punto con D < 0.
  • Usar límites interiores constantes en una región acotada por curvas.
  • Omitir el factor r en dA = r dr dθ.

Fórmulas clave

Derivadas parciales
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivada direccional
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regla de la cadena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Criterio de la segunda derivada
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Aprende Cálculo multivariable desde cero

Antes de esto: Derivadas, Integrales

1Derivadas parciales

Una función de dos variables, z = f(x, y), es una superficie sobre el plano xy. En un mapa se dibuja con curvas de nivel, líneas en las que f tiene el mismo valor.

Una derivada parcial mide la pendiente en una dirección. Para ∂f/∂x (que también se escribe fx) mantienes y constante y derivas respecto de x con las reglas ordinarias.

Ejemplo: f(x, y) = x²y + 3y². Trata y como un número para fx, y x como un número para fy:

fx = 2xy fy = x² + 6y

En (1, 2) esto da fx = 4 y fy = 1 + 12 = 13.

Derivar de nuevo da las derivadas parciales segundas fxx, fyy y fxy. El orden de la derivada mixta no importa: fxy = fyx. Aquí fxy = 2x.

Autoevaluación ¿Cuánto es ∂f/∂y para f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Respuesta: 2x³y. Mantén x constante: x³ es un factor constante, y y² da 2y, así que fy = 2x³y. 3x²y² es ∂f/∂x.

2Gradiente y derivada direccional

El gradiente reúne ambas derivadas parciales: ∇f = (fx, fy). Apunta en la dirección en la que f crece más rápido, perpendicular a la curva de nivel.

xy∇fP

La pendiente máxima en sí es la longitud |∇f| = √(fx² + fy²).

La pendiente en cualquier otra dirección v es la derivada direccional. Primero convierte v en un vector unitario u = v/|v| y luego calcula el producto escalar:

Duf = ∇f·u

Para f = x²y + 3y² en (1, 2): ∇f = (4, 13). En la dirección v = (3, 4), u = (0,6, 0,8), así que Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Autoevaluación En un punto ∇f = (3, 4). ¿Cuál es la mayor tasa de crecimiento de f allí?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Respuesta: 5. Es |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Sumar las componentes da 7, y olvidar la raíz cuadrada da 25.

3Plano tangente y regla de la cadena

Cerca de un punto (a, b) la superficie es casi plana. El plano tangente es

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Da la aproximación lineal f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Ejemplo: f = x²y + 3y² tiene f(1, 2) = 14, así que cerca de (1, 2): f(1,1, 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. El valor exacto es 13,129.

Cuando x e y dependen ambas de t, la regla de la cadena suma los dos caminos: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Puntos críticos

En un máximo, un mínimo o un punto de silla la superficie es plana: fx = 0 y fy = 0. Estos puntos son los puntos críticos.

El criterio de la segunda derivada usa D = fxxfyy − fxy² en el punto:

  • D > 0 y fxx > 0: mínimo local.
  • D > 0 y fxx < 0: máximo local.
  • D < 0: punto de silla, sube en una dirección y baja en otra.
  • D = 0: el criterio no decide nada.
Ejemplo resuelto

Halla y clasifica los puntos críticos de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Iguala a cero ambas derivadas parciales

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Los puntos críticos son (1, 2) y (−1, 2).

2

Derivadas segundas

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Prueba (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 y fxx = 6 > 0: un mínimo local, con f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Prueba (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: un punto de silla.

Respuesta

Mínimo local en (1, 2) con f = −6; punto de silla en (−1, 2).

5Integrales dobles

Una integral doble ∬R f dA suma f sobre una región R; para f = 1 es el área de R. Se calcula como dos integrales simples, la interior primero.

Sobre un rectángulo los límites son números: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. La integral interior da x + 1, y ∫02 (x + 1) dx = 4.

Sobre una región general, los límites interiores son las curvas que la acotan. Para la región entre y = x² e y = 2x, y va de x² a 2x, y x de 0 a 2.

xyy = 2xy = x²2
Área = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Para discos y sectores usa coordenadas polares: x² + y² = r² y dA = r dr dθ. Sobre el disco r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Autoevaluación En coordenadas polares, ¿en qué se convierte dA?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Respuesta: r dr dθ. Un pequeño elemento polar mide Δr de ancho y r·Δθ de largo, así que dA = r dr dθ. Olvidar el factor r es el error más común.

6Errores comunes y preguntas de examen

  • Derivar también la variable «constante» en una derivada parcial.
  • Usar v en lugar del vector unitario u en una derivada direccional.
  • Escribir D = fxxfyy + fxy², o clasificar como extremo un punto con D < 0.
  • Usar números como límites interiores cuando la región está limitada por curvas.
  • Olvidar el factor r en coordenadas polares.

Fácil: derivadas parciales en un punto e integrales sobre rectángulos. Medio: gradiente, derivada direccional, plano tangente y regla de la cadena. Difícil: clasificar puntos críticos e integrales sobre regiones curvas, en coordenadas polares o con el orden invertido.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
xy−1−3P

Para f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy, halla la derivada parcial ∂f/∂x en el punto (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Calcula fx(−1, −3)

Mostrar pistas
  1. Trata y como un número constante y deriva respecto de x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Sustituye x = −1 e y = −3.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Derivadas parciales: ∂f/∂x es la derivada ordinaria respecto de x mientras y se mantiene constante (trata y como un número), y ∂f/∂y al revés. Las reglas (potencia, producto, cadena) son las mismas que en una variable. Las segundas derivadas mixtas dan el mismo resultado en cualquier orden: fxy = fyx. Una integral doble sobre un rectángulo se calcula como dos integrales simples, la interior primero: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Deriva

y se mantiene constante.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Sustituir

fx(−1, −3) = −4

Respuesta

fx(−1, −3) = −4
Ejemplo 2Media

z = 2x²e3y con x = −t − 2 e y = t² + 2. Usa la regla de la cadena para hallar dz/dt en t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Calcula dz/dt

Mostrar pistas
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. En t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Gradiente: ∇f = (fx, fy) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es Duf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Punto y tasas de variación

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Derivadas parciales

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Regla de la cadena

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Respuesta

dz/dt = 3227
Ejemplo 3Difícil
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy tiene un punto crítico en (1, 1). Calcula allí el discriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Calcula D

Mostrar pistas
  1. Halla las tres derivadas segundas fxx, fyy y fxy.
  2. En el punto: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple fx = fy = 0. Criterio de la segunda derivada con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 y fxx > 0 es un mínimo local, D > 0 y fxx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Derivadas segundas

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Discriminante

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ mínimo local

Respuesta

D = 27

Preguntas y respuestas

Cálculo multivariable: ¿qué es?

Una función de dos variables, z = f(x, y), es una superficie sobre el plano xy. En un mapa se dibuja con curvas de nivel, líneas en las que f tiene el mismo valor.

Una derivada parcial mide la pendiente en una dirección. Para ∂f/∂x (que también se escribe fx) mantienes y constante y derivas respecto de x con las reglas ordinarias.

Cálculo multivariable: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
  2. En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (fx, fy) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
  3. Para los extremos resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = fxx·fyy − fxy².
  4. En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.
Cálculo multivariable: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Derivar la variable que debía mantenerse constante.
  • Olvidar normalizar el vector de dirección.
  • Escribir D = fxx·fyy + fxy² o llamar extremo a un punto con D < 0.
  • Usar límites interiores constantes en una región acotada por curvas.
  • Omitir el factor r en dA = r dr dθ.
Cálculo multivariable: ¿qué se practica?
  • Fácil: derivadas parciales e integrales dobles
  • Media: gradiente, plano tangente y regla de la cadena
  • Difícil: puntos críticos e integrales sobre regiones

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