Optimización: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Optimización con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: área o volumen máximo, coste o material mínimo, beneficio e ingresos.

Problema de práctica gratisFácil
ríoxxy

Un agricultor tiene 240 m de valla para cercar un campo rectangular junto a un río recto. No hace falta valla a lo largo del río. Halla el área máxima A que se puede cercar.

240 m2x + y = 240
m²
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Qué practicas

  1. Fácilárea o volumen máximo
  2. Mediacoste o material mínimo
  3. Difícilbeneficio e ingresos

Fórmulas clave

Método
escribe Q(x) con una sola variable, resuelve Q′(x) = 0 y comprueba Q″ o los extremos del intervalo
Máximo
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro cerrado
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Beneficio
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Aprende Optimización desde cero

Antes de esto: Derivadas

1Qué es la optimización

Optimizar significa hallar el mejor valor: la mayor área para una longitud de valla dada, el menor metal para una lata, o el mayor beneficio.

La magnitud que quieres hacer lo más grande o lo más pequeña posible depende de una variable, por ejemplo el ancho x de un campo.

Imagina su gráfica. En la cima de una colina y en el fondo de un valle, la gráfica es plana por un instante. Así que la pendiente ahí es cero.

Esa es la idea clave: en un máximo o un mínimo, la derivada es 0. Hallas el mejor x resolviendo Q′(x) = 0.

Autoevaluación El área A(x) de un campo tiene su valor máximo en x = 12. ¿Cuánto vale A′(12)?
  1. 0
  2. Lo mismo que A(12)
  3. Un número negativo
  4. Un número positivo

Respuesta: 0. En la cima de la gráfica la tangente es horizontal, así que la pendiente es 0. Una pendiente positiva significaría que el área todavía está aumentando.

2El objetivo y la restricción

Todo problema de optimización tiene dos partes. Nómbralas antes de calcular nada.

  • El objetivo: la magnitud que hay que maximizar o minimizar, como un área A o un coste C.
  • La restricción: una condición fija, como la longitud total de valla o el volumen que debe contener una lata.

El objetivo suele tener dos variables, por ejemplo A = x · y. Todavía no puedes derivar eso.

Usa la restricción para escribir y en función de x. Entonces el objetivo depende solo de x.

Ejemplo: un rectángulo de perímetro 20 m cumple 2x + 2y = 20, así que y = 10 − x y A(x) = x(10 − x) = 10x − x².

Haz primero un croquis y escribe en él todas las longitudes. La mayoría de los errores ocurren en la restricción.

Autoevaluación Un campo junto a un río se cerca por tres lados con 40 m: dos lados de longitud x y un lado y paralelo al río. ¿Cuál es la restricción?
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

Respuesta: 2x + y = 40. Hay tres vallas: x, x e y. El lado del río no necesita valla. 2x + 2y sería un rectángulo completo con cuatro lados cercados.

3Problemas de coste y beneficio

En los problemas de negocios, el objetivo es el beneficio: ingresos menos coste.

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

Aquí q es el número de unidades vendidas y p el precio por unidad. Si el precio depende de q, sustituye primero esa fórmula en R.

Ejemplo: el precio es p = 60 − q y el coste es C = 100 + 30q.

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

El mejor precio es entonces p = 60 − 15 = 45 €. Lee la pregunta con atención: puede pedir q, p o el propio beneficio P.

Autoevaluación Un producto se vende a 40 € por unidad. El coste de q unidades es C = 100 + 10q + 0,5q² euros. ¿Qué producción q da el mayor beneficio?
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

Respuesta: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², así que P′ = 30 − q = 0 y q = 30. Si olvidas el 2 al derivar 0,5q² sale 60.

4El método paso a paso

  1. Haz un croquis y nombra las variables.
  2. Escribe el objetivo Q (área, coste, beneficio) y la restricción.
  3. Usa la restricción para escribir Q como función de una variable, Q(x).
  4. Deriva y resuelve Q′(x) = 0.
  5. Comprueba que es el tipo de punto correcto: Q″ < 0 para un máximo, Q″ > 0 para un mínimo.
  6. Responde a la pregunta que se hizo: x, el otro lado, o el mejor valor de Q, con unidades.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Un granjero tiene 60 m de valla para un campo rectangular junto a un río recto. No hace falta valla a lo largo del río. Halla el lado y paralelo al río y el área máxima A.

1

Croquis y restricción

xxyA

El río está arriba, así que solo hacen falta tres lados de valla: dos lados x y un lado y.

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

Área en una variable

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

Igualar la derivada a cero

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

¿Es un máximo?

A″(x) = −4 < 0

La segunda derivada es negativa, así que x = 15 m da el área máxima.

xA(15, 450)1530
5

Otro lado y área

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

Comprueba la respuesta

Prueba un valor a cada lado. x = 14 da 14 · 32 = 448 m², y x = 16 da 16 · 28 = 448 m². Ambos son menores que 450 m².

Respuesta

y = 30 m y el área máxima es A = 450 m².

6Errores frecuentes

  • Dar la respuesta de la magnitud equivocada: la pregunta pide y y tú das x.
  • Derivar un objetivo que aún tiene dos variables. Usa primero la restricción.
  • Escribir la restricción equivocada, por ejemplo cercar también el lado del río.
  • No comprobar si el punto es un máximo o un mínimo.
  • Olvidar las unidades, o dar un área en m en lugar de m².
Autoevaluación Con 40 m de valla junto a un río (2x + y = 40), el mejor ancho es x = 10 m. La pregunta pide el lado y paralelo al río. ¿Qué respondes?
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

Respuesta: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Responder 10 m da x en lugar de y, y 200 m² es el área, no un lado.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: área o volumen máximo, como un campo junto a un río o un corral dividido por una valla adicional.
  • Medio: coste o material mínimo, como una lata cerrada (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) o una valla con dos precios por metro.
  • Difícil: beneficio e ingresos. Construye P = R − C, resuelve P′(q) = 0 y después halla el precio o el beneficio máximo.

Una comprobación rápida: sustituye en Q un valor algo mayor y otro algo menor que tu respuesta. Ambos deben ser peores.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
x18 cm18 cmx

Se fabrica una caja abierta a partir de una lámina cuadrada de cartón de 18 cm × 18 cm recortando cuadrados iguales de lado x en las cuatro esquinas y doblando los laterales. Halla el volumen máximo posible V.

18 cm × 18 cm

Calcula V (cm³)

Mostrar pistas
  1. La base mide (18 − 2x) por (18 − 2x) y la altura es x.
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Solo tiene sentido una raíz con 0 < x < 9.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Volumen en función de x

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

Igualar la derivada a cero

La raíz mayor da un lado de la base ≤ 0, así que está fuera del intervalo permitido.

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 o x = 9
x = 3 cm

Volumen

V = 3·12·12 = 432 cm³

Respuesta

V = 432 cm³
Ejemplo 2Media
rh

Una lata cilíndrica cerrada (con tapa y fondo) debe contener 400 cm³. El metal utilizado es proporcional a la superficie total. Halla la superficie mínima posible A.

V = 400 cm³

Calcula A (cm²)

Mostrar pistas
  1. Usa el volumen para eliminar h: πr²h = 400, así que h = 400/(πr²).
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Área en función de r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Igualar la derivada a cero

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, así que es un mínimo.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Altura y área

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Respuesta

A = 300,5 cm²

La lata cerrada más económica es tan alta como ancha: h = 2r.

Ejemplo 3Difícil
p (€)R(p)10ahora

Un teatro vende 580 entradas por función a 10 € cada una. Un estudio de mercado indica que cada aumento de 1 € en el precio de la entrada supone 20 entradas vendidas menos (y cada bajada de 1 €, 20 más). Halla los ingresos máximos R por función.

580 × €1020 / €1

Calcula R (€)

Mostrar pistas
  1. Entradas vendidas al precio p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Ingresos en función del precio

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

Igualar la derivada a cero

R″(p) = −40 < 0, así que es un máximo.

p = 780/40 = €19,5

Ingresos máximos

n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605

Respuesta

R = €7605

Preguntas y respuestas

Optimización: ¿qué es?

Optimizar significa hallar el mejor valor: la mayor área para una longitud de valla dada, el menor metal para una lata, o el mayor beneficio.

La magnitud que quieres hacer lo más grande o lo más pequeña posible depende de una variable, por ejemplo el ancho x de un campo.

Optimización: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Optimización: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Cada lado de la base pierde un cuadrado en cada extremo, así que los lados de la base son a − 2x y b − 2x, no a − x y b − x.
  • La lata es cerrada: cuenta tanto la tapa como el fondo, A = 2πr² + 2πrh.
  • Esos son los ingresos al precio actual. Halla primero el precio en el que R′(p) = 0.
Optimización: ¿qué se practica?
  • Fácil: área o volumen máximo
  • Media: coste o material mínimo
  • Difícil: beneficio e ingresos

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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