Conjuntos, relaciones y funciones: problemas de práctica con soluciones paso a paso

1Conjuntos y operaciones entre conjuntos

Un conjunto es una colección de elementos distintos: A = {1, 2, 3}. El orden y la repetición no importan. |A| es el número de elementos y U es el conjunto universal que contiene todo lo que se trata.

• A ∪ B (unión): los elementos que están en A, en B o en ambos.
• A ∩ B (intersección): los elementos que están en ambos.
• A − B (diferencia): los elementos de A que no están en B.
• A′ (complemento): los elementos de U que no están en A.

En un diagrama de Venn, dos círculos dividen U en cuatro regiones: solo A, ambos, solo B y ninguno. Toda expresión de conjuntos es una unión de algunas de estas regiones, así que siempre se puede contar región por región.

Aquí |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 y |(A ∪ B)′| = 15.

2Recuento con inclusión–exclusión

Sumar |A| y |B| cuenta dos veces la intersección, así que se resta una vez:

Para tres conjuntos se restan las intersecciones de pares, pero entonces el centro se ha quitado tres veces, así que se vuelve a sumar:

En los problemas con enunciado suele ser más seguro rellenar un diagrama de Venn desde el centro hacia fuera: primero los elementos de los tres conjuntos, luego cada par menos el centro y después cada conjunto suelto menos lo que ya está colocado.

Hay otros dos recuentos frecuentes: un conjunto con n elementos tiene 2ⁿ subconjuntos (su conjunto potencia 𝒫(A)), y |A × B| = |A|·|B| pares ordenados.

3Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

4Relaciones

Una relación R en un conjunto X es un conjunto de pares ordenados (x, y) con x e y en X. Dibujada como un grafo dirigido, cada par es una flecha y (x, x) es un lazo.

• Reflexiva: (x, x) ∈ R para todo x: un lazo en cada vértice.
• Simétrica: (x, y) ∈ R siempre va acompañado de (y, x) ∈ R.
• Antisimétrica: (x, y) y (y, x) están ambos en R solo cuando x = y.
• Transitiva: (x, y) y (y, z) en R obligan a que (x, z) ∈ R.

Una relación reflexiva, simétrica y transitiva es una relación de equivalencia. Divide X en clases disjuntas, como los restos 0, 1 y 2 para “x ≡ y (mod 3)”. Una clase con s elementos aporta s² pares ordenados.

Para refutar una propiedad basta un contraejemplo; para demostrarla, comprueba todos los pares.

5Funciones

Una función f: A → B da a cada elemento de A exactamente una imagen en B.

• Inyectiva (uno a uno): elementos distintos tienen imágenes distintas; ningún elemento de B recibe dos flechas.
• Sobreyectiva (suprayectiva): todo elemento de B recibe al menos una flecha.
• Biyectiva: ambas. Solo entonces f tiene una inversa f⁻¹.

La función de la figura es inyectiva pero no sobreyectiva: d no recibe ninguna flecha. Una inyección necesita |A| ≤ |B| y una sobreyección |A| ≥ |B|.

Con |A| = m y |B| = n hay nᵐ funciones y n!/(n − m)! inyectivas. La composición (g ∘ f)(x) = g(f(x)) aplica f primero.

6Errores frecuentes

• Sumar |A| + |B| sin restar la intersección.
• Olvidar volver a sumar el centro en la inclusión–exclusión de tres conjuntos.
• Escribir mⁿ en lugar de nᵐ para el número de funciones de m elementos a n elementos.
• Pensar que una relación no puede ser a la vez simétrica y antisimétrica: la relación {(1, 1)} es ambas cosas.
• Aplicar g ∘ f en el orden equivocado: primero actúa f.

7Cómo son las preguntas de examen

• Fácil: diagramas de Venn y subconjuntos. Cuentas una expresión de conjuntos a partir de un diagrama de Venn, haces clic en la región de una expresión o hallas el tamaño de un conjunto potencia, de un producto cartesiano o de una familia de subconjuntos.
• Medio: inclusión–exclusión y relaciones. Resuelves problemas de recuento con dos y tres conjuntos, cuentas expresiones a partir de los totales de las regiones, decides qué propiedad tiene una relación o cuentas los pares necesarios para una clausura.
• Difícil: funciones y recuento. Clasificas una función como inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, cuentas funciones, inyecciones y sobreyecciones, evalúas composiciones e inversas y cuentas pares en relaciones de equivalencia.