Lógica proposicional y demostraciones: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: lógica proposicional · tablas de verdad
Problemas gratis de Lógica proposicional y demostraciones con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: tablas de verdad, equivalencias y métodos de demostración, cuantificadores y argumentos.
Problema de práctica gratisFácil
Completa la tabla de verdad (1 = verdadero, 0 = falso). ¿En cuántas filas, N, es verdadera (p → r) ↔ (r ∨ q)?
(p → r) ↔ (r ∨ q)
Respuesta exacta: un número entero, sin redondear.
Aprende Lógica proposicional y demostraciones desde cero
1Enunciados y conectivos
Una proposición es un enunciado que es verdadero o falso, como “7 es primo”. Se escribe con una letra, p o q, y su valor de verdad como 1 (verdadero) o 0 (falso).
Los conectivos construyen fórmulas mayores a partir de otras más pequeñas:
¬p (no p) invierte el valor.
p ∧ q (y) vale 1 solo cuando ambos son 1.
p ∨ q (o) vale 0 solo cuando ambos son 0. Es la disyunción inclusiva: ambos pueden ser verdaderos.
p → q (si p entonces q) vale 0 solo cuando p = 1 y q = 0.
p ↔ q (si y solo si) vale 1 cuando p y q tienen el mismo valor.
La implicación sorprende a muchos estudiantes: cuando p es falso, p → q es verdadero sea cual sea q. Una promesa como “si llueve, llevo paraguas” solo se incumple en un día de lluvia sin paraguas.
Autoevaluación p = 0 y q = 1. ¿Cuánto vale p → q?
0
1
Depende del contexto
Indefinido
Respuesta: 1. Una implicación solo es falsa cuando se cumple la condición y falla la conclusión (p = 1, q = 0). Con p = 0 es verdadera, sea cual sea q.
2Tablas de verdad
Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones de valores de verdad de las variables. Con n variables distintas hay 2ⁿ filas: 4 para dos variables, 8 para tres, 16 para cuatro. Una variable que aparece dos veces cuenta solo una vez.
Trabaja de dentro hacia fuera. Dale a cada subfórmula su propia columna, de modo que cada columna nueva solo necesite aplicar un conectivo a columnas que ya tienes.
Enumera las variables y escribe las 2ⁿ combinaciones, empezando por todo 1.
Añade una columna para cada subfórmula, empezando por la más interna.
Rellena cada columna con la regla de su conectivo principal.
Lee la respuesta en la última columna: cuenta los 1 o busca la fila que se pide.
Autoevaluación ¿Cuántas filas tiene la tabla de verdad de (p ∧ q) → (r ∨ p)?
16
4
6
8
Respuesta: 8. La fórmula tiene tres variables distintas, p, q y r, así que 2³ = 8 filas. p aparece dos veces pero es una sola variable; 16 sería 2⁴ para cuatro apariciones.
3Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
¿En cuántas filas de su tabla de verdad es verdadera (p → q) ∧ ¬q?
1
Variables y filas
Dos variables, p y q, así que 4 filas: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0).
2
Columna p → q
Solo es 0 en la fila p = 1, q = 0:
p → q: 1, 0, 1, 1
3
Columna ¬q
¬q: 0, 1, 0, 1
4
La conjunción
Ambas columnas deben ser 1. Eso solo ocurre en la última fila, p = 0 y q = 0.
(p → q) ∧ ¬q: 0, 0, 0, 1
Respuesta
La fórmula es verdadera en 1 fila, la fila p = 0, q = 0. Por eso p → q y ¬q juntas dan ¬p (modus tollens).
4Equivalencias y métodos de demostración
Dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando sus columnas de la tabla de verdad son idénticas. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos.
Las leyes que más se usan:
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Estas leyes son la base de los métodos de demostración. Una demostración por contrarrecíproca de p → q demuestra en su lugar ¬q → ¬p, que es equivalente. Una demostración por reducción al absurdo supone p ∧ ¬q, la única forma en que puede fallar la implicación, y deduce algo imposible.
Ojo: la recíproca q → p y la inversa ¬p → ¬q no son equivalentes a p → q.
Autoevaluación ¿Qué fórmula es equivalente a ¬(p ∧ q)?
p ∨ q
¬p ∧ q
¬p ∧ ¬q
¬p ∨ ¬q
Respuesta: ¬p ∨ ¬q. Por De Morgan, el ∧ se convierte en ∨ y se niegan ambas partes. ¬p ∧ ¬q es la negación de p ∨ q, un enunciado distinto: es falsa cuando exactamente una de p y q es verdadera, caso en el que ¬(p ∧ q) es verdadera.
5Cuantificadores y argumentos válidos
Con variables sobre un dominio, ∀x P(x) dice “P se cumple para todo x” y ∃x P(x) dice “P se cumple para al menos un x”. Una negación intercambia el cuantificador:
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Desplaza la negación hacia dentro paso a paso; en el interior, usa las leyes proposicionales. Por ejemplo, ¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)): “no todo P es un Q” significa “algún P no es un Q”.
Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Las formas válidas clásicas son el modus ponens (p → q, p, luego q), el modus tollens (p → q, ¬q, luego ¬p) y el silogismo hipotético (p → q, q → r, luego p → r).
Una fila con todas las premisas en 1 y la conclusión en 0 es un contraejemplo. Afirmar el consecuente (p → q, q, luego p) no es válido: la fila p = 0, q = 1 es un contraejemplo.
Autoevaluación ¿Cuál es la negación de “todos los estudiantes aprobaron”, ∀x P(x)?
¬P(x) para un estudiante x fijo
∀x ¬P(x): ningún estudiante aprobó
∃x P(x): algún estudiante aprobó
∃x ¬P(x): algún estudiante no aprobó
Respuesta: ∃x ¬P(x): algún estudiante no aprobó. Un solo estudiante que haya suspendido basta para hacer falso “todos los estudiantes aprobaron”. “Ningún estudiante aprobó” es mucho más fuerte que la negación.
6Errores frecuentes
Considerar falso p → q cuando p es falso. Solo es falso cuando p = 1 y q = 0.
Contar dos veces una variable repetida al hallar el número de filas.
Confundir la contrarrecíproca ¬q → ¬p con la recíproca q → p o con la inversa ¬p → ¬q.
Negar ∀x P(x) como ∀x ¬P(x): el cuantificador debe cambiar a ∃.
Escribir ¬(p ∧ q) como ¬p ∧ ¬q: De Morgan también intercambia el conectivo.
Autoevaluación ¿Qué enunciado es la contrarrecíproca de “si n² es par, entonces n es par”?
Si n es impar, entonces n² es impar
Si n es par, entonces n² es par
Si n² es impar, entonces n es impar
n² es par y n es impar
Respuesta: Si n es impar, entonces n² es impar. Intercambia las dos partes y niega ambas: no (n par) → no (n² par). “Si n es par, entonces n² es par” es la recíproca; la última opción es lo que supone una demostración por reducción al absurdo.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: tablas de verdad. Hallas el número de filas, cuentas las filas en las que una fórmula es verdadera o haces clic en la fila que hace verdadera o falsa una fórmula.
Medio: equivalencias y métodos de demostración. Decides si una fórmula es una tautología, una contradicción o una contingencia, eliges la fórmula equivalente o el enunciado que hay que demostrar en una demostración por contrarrecíproca o por reducción al absurdo.
Difícil: cuantificadores y argumentos. Niegas enunciados cuantificados, eliges la conclusión que se sigue de unas premisas, haces clic en la fila del contraejemplo de un argumento no válido o cuentas las filas verdaderas de una tabla de cuatro variables.
Exactamente una fila de la tabla de verdad hace falsa ¬(p ∨ q) → q. Haz clic en esa fila.
¬(p ∨ q) → q
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
Mostrar pistas
a → b vale 0 solo cuando a = 1 y b = 0. ¬a invierte el valor. a ∨ b vale 0 solo cuando ambos son 0.
Calcula primero el conectivo principal: ¿cómo deben ser sus dos lados para que toda la fórmula sea 0?
Dale a cada parte su propia columna: p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q.
Mostrar la respuesta y la explicación
Tablas de verdad: una fórmula con n variables distintas tiene 2ⁿ filas, una por cada combinación de valores de verdad (1 = verdadero, 0 = falso). Trabaja de dentro hacia fuera y dale a cada subfórmula su propia columna. ¬a invierte el valor; a ∧ b vale 1 solo cuando ambos son 1; a ∨ b vale 0 solo cuando ambos son 0; a → b vale 0 solo cuando a = 1 y b = 0; a ↔ b vale 1 cuando ambos lados son iguales.
¿Qué fórmula es lógicamente equivalente a (b ∧ c) → a? Haz clic en ella.
(b ∧ c) → a
1(b → a) ∧ (c → a)
2b → (c → a)
3b ∧ (c → a)
4(b → c) → a
Mostrar pistas
Las fórmulas equivalentes coinciden en todas las filas de la tabla de verdad. Una sola fila en la que difieran descarta una opción.
Prueba una fila que haga (b ∧ c) → a igual a 0 y comprueba qué opciones también valen 0 en ella.
Exportación: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Ambas valen 0 solo cuando a = 1, b = 1 y c = 0.
Mostrar la respuesta y la explicación
Equivalencia lógica: dos fórmulas son equivalentes (≡) cuando tienen el mismo valor en todas las filas de la tabla de verdad. Una tautología vale 1 en todas las filas, una contradicción vale 0 en todas las filas, y una contingencia no es ninguna de las dos. Leyes útiles: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b y ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrarrecíproca); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; y las leyes distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La ley
Exportación: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Ambas valen 0 solo cuando a = 1, b = 1 y c = 0.
(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)
Comprueba con la tabla de verdad
a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0
Respuesta
b → (c → a)
Las columnas después de la barra son las opciones, en el orden mostrado.
Ejemplo 3Difícil
Se dan las premisas (q ∧ p) → r; q; ¬r. ¿Qué conclusión se sigue de ellas? Haz clic en ella.
(q ∧ p) → rq¬r
1p
2p ∧ ¬r
3¬p
4r
Mostrar pistas
Una conclusión se sigue cuando vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1.
Busca las filas que hacen 1 todas las premisas y luego prueba cada opción en esas filas.
Esta es una regla estándar: modus tollens con una conjunción.
Mostrar la respuesta y la explicación
Cuantificadores y argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) y ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Desplaza la negación hacia dentro, intercambia cada cuantificador que atraviesa y niega la fórmula interior con las leyes proposicionales, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argumento es válido cuando la conclusión vale 1 en todas las filas en las que todas las premisas valen 1. Una sola fila con premisas verdaderas y conclusión falsa es un contraejemplo y demuestra que el argumento no es válido.
Filas con todas las premisas verdaderas
p = 0, q = 1, r = 0: p = 0, p ∧ ¬r = 0, ¬p = 1, r = 0
Conclusión
¬p (modus tollens con una conjunción)
Respuesta
¬p
Preguntas y respuestas
Lógica proposicional y demostraciones: ¿qué es?
Una proposición es un enunciado que es verdadero o falso, como “7 es primo”. Se escribe con una letra, p o q, y su valor de verdad como 1 (verdadero) o 0 (falso).
Los conectivos construyen fórmulas mayores a partir de otras más pequeñas:
Lógica proposicional y demostraciones: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Cuenta las variables distintas: la tabla de verdad tiene 2ⁿ filas, y la primera tiene todas ellas en 1.
Dale a cada subfórmula su propia columna y rellena las columnas de dentro hacia fuera.
Aplica la regla de cada conectivo: → solo es 0 en 1 → 0, y ↔ vale 1 cuando ambos lados coinciden.
Para las equivalencias, compara las columnas finales fila por fila; para un argumento, mira solo las filas en las que todas las premisas valen 1.
Para negar un enunciado cuantificado, desplaza ¬ hacia dentro, intercambia ∀ y ∃ y niega la fórmula interior.
Lógica proposicional y demostraciones: ¿cuáles son los errores más comunes?
Considerar falso p → q cuando p es falso.
Contar dos veces una variable repetida al hallar el número de filas.
Confundir la contrarrecíproca ¬q → ¬p con la recíproca q → p.
Negar ∀x P(x) como ∀x ¬P(x) en lugar de ∃x ¬P(x).
Aplicar De Morgan sin intercambiar ∧ y ∨.
Lógica proposicional y demostraciones: ¿qué se practica?
Fácil: tablas de verdad
Media: equivalencias y métodos de demostración
Difícil: cuantificadores y argumentos
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.