Distribución normal: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: distribución de Gauss · normal estándar · campana de Gauss

Problemas gratis de Distribución normal con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: área en una cola, área entre dos valores, percentiles.

Problema de práctica gratisFácil
μ = 6567,5P = ?

Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. ¿Qué fracción queda por encima de 67,5 puntos? Calcula P(X > x) como número decimal.

μ = 65σ = 10x = 67,5
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Qué practicas

  1. Fácilárea en una cola
  2. Mediaárea entre dos valores
  3. Difícilpercentiles

Cómo resolver problemas de Distribución normal

  1. Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
  2. Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
  3. Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
  4. Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Errores frecuentes

  • Leer la tabla para la cola equivocada.
  • Olvidar dividir entre σ.
  • Usar el signo de z al revés para percentiles por debajo del 50 %.

Fórmulas clave

Puntuación z
z = (x − μ)/σ
Por debajo de x
P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Aprende Distribución normal desde cero

Antes de esto: Estadística descriptiva

1La curva en campana

Muchas magnitudes, como las estaturas, las puntuaciones de CI o el peso de los paquetes de una máquina, siguen una distribución normal. La mayoría de los valores están cerca del centro, y los valores lejanos son raros.

La gráfica es una campana simétrica. Tiene dos números: la media μ, donde está la cima, y la desviación típica σ, que fija la anchura.

7085100μ115130

La idea clave: una probabilidad es un área bajo la curva. El área total es 1. La mitad izquierda sombreada tiene un área de 0,5, así que la mitad de todos los valores queda por debajo de la media.

Alrededor del 68 % de los valores están a menos de una σ de la media, y alrededor del 95 % a menos de dos σ.

Autoevaluación Los paquetes tienen un peso con distribución normal de media 500 g. ¿Qué fracción de los paquetes pesa menos de 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Depende de σ

Respuesta: 0,5. La curva es simétrica respecto a la media, así que exactamente la mitad del área queda por debajo de μ, sea cual sea σ. 0,68 es el área a menos de una σ a ambos lados.

2Puntuaciones z y la tabla

Toda distribución normal se convierte en la misma curva normal estándar (media 0, σ = 1) cuando conviertes un valor x en una puntuación z:

z = (x − μ) / σ

La tabla da Φ(z): el área a la izquierda de z. Por ejemplo Φ(1,2) = 0,8849, así que el 88,49 % de los valores queda por debajo de z = 1,2.

  • Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z).
  • Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z), porque el área total es 1.
  • Para una z negativa: Φ(−z) = 1 − Φ(z), por simetría. Así, Φ(−1,2) = 0,1151.

Valores que encontrarás a menudo: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Autoevaluación Φ(1,2) = 0,8849. ¿Cuánto vale P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Respuesta: 0,1151. La tabla da el área a la izquierda. El área a la derecha es 1 − 0,8849 = 0,1151. Usar 0,8849 directamente lee la cola equivocada.

3Entre dos valores y percentiles

Para el área entre dos valores, resta las dos áreas a la izquierda: todo lo que queda por debajo del valor superior, menos todo lo que queda por debajo del valor inferior.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Un percentil funciona al revés. El percentil 90 es el valor que deja el 90 % del área a su izquierda.

  • Halla la z con Φ(z) igual al área. Para el 90 %, z = 1,2816. Para el 80 %, z = 0,8416.
  • Vuelve a x: x = μ + z · σ.

Para un percentil por debajo del 50 %, z es negativa. El percentil 10 tiene z = −1,2816.

Autoevaluación Las puntuaciones de CI son normales con μ = 100 y σ = 15. La z del percentil 80 es 0,8416. ¿Cuál es el percentil 80?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Respuesta: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Usar el signo menos da 87,4, el percentil 20; 100,8 olvida multiplicar por σ.

4El método paso a paso

  1. Dibuja la curva en campana, marca μ y el valor o los valores, y sombrea el área que piden.
  2. Convierte cada valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
  3. Busca Φ(z), el área a la izquierda.
  4. Por debajo: Φ(z). Por encima: 1 − Φ(z). Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Para un percentil, ve hacia atrás: área → z → x = μ + zσ.
  6. Compara con tu esbozo: un área sombreada menor que la mitad debe dar un número por debajo de 0,5.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Las puntuaciones de CI tienen distribución normal con media 100 y desviación típica 15. ¿Qué fracción P está entre 91 y 121?

1

Esboza el área

91x₁100121x₂

El área sombreada cubre el centro y más del lado derecho. Espera un número algo superior a 0,5.

2

Puntuación z inferior

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Puntuación z superior

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Busca ambas áreas

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Resta

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Esto es algo superior a 0,5, como predecía el esbozo.

Respuesta

P ≈ 0,645: alrededor del 64,5 % de las puntuaciones está entre 91 y 121.

6Errores frecuentes

  • Leer la cola equivocada: usar Φ(z) cuando la pregunta pide el área por encima de x.
  • Olvidar dividir entre σ en la puntuación z.
  • Sumar las dos áreas a la izquierda para un intervalo en lugar de restarlas.
  • Usar el signo equivocado de z para un percentil por debajo del 50 %.
  • Confundir σ con la varianza σ². Divide entre σ, la desviación típica.
Autoevaluación Las notas de un examen son normales con μ = 65 y σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. ¿Qué fracción obtiene más de 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Respuesta: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, y P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 es el área por debajo de 50: la cola equivocada. La mayoría de los estudiantes saca más de 50, así que la respuesta debe ser grande.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: el área en una cola. Halla P(X < x) o P(X > x) con una puntuación z.
  • Medio: el área entre dos valores, Φ(z₂) − Φ(z₁), como en el ejemplo.
  • Difícil: percentiles. Halla el valor por debajo del cual queda el 80 % o el 90 % de los datos.

Esboza siempre primero. Un esbozo de diez segundos evita la mayoría de los errores de cola.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
μ = 3236,8P = ?

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. ¿Qué fracción queda por encima de 36,8 min? Calcula P(X > x) como número decimal.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Calcula P(X > x)

Mostrar pistas
  1. Tipifica: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. El área a la derecha es 1 − Φ(z).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuación z

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Probabilidad

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Respuesta

P = 0,2119

Eso es un 21,19 %.

Ejemplo 2Media
750 g769,7 gX + Y?

X es normal con media 250 g y desviación típica 4 g; Y es independiente y normal con media 500 g y desviación típica 9 g. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 769,7 g. Redondea z a dos decimales.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Calcula P

Mostrar pistas
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).

Distribución de la suma

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Tipificar

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Cola superior

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Respuesta

P = 0,02275
Ejemplo 3Difícil
μ = 178x = ?20%

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 20 % de los datos (el percentil 20).

μ = 178σ = 7P = 20%

Calcula x (cm)

Mostrar pistas
  1. Trabaja al revés: busca en la tabla el z con Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Después, x = μ + z·σ.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Vuelta a x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Respuesta

x = 172,11 cm

Preguntas y respuestas

Distribución normal: ¿qué es?

Muchas magnitudes, como las estaturas, las puntuaciones de CI o el peso de los paquetes de una máquina, siguen una distribución normal. La mayoría de los valores están cerca del centro, y los valores lejanos son raros.

La gráfica es una campana simétrica. Tiene dos números: la media μ, donde está la cima, y la desviación típica σ, que fija la anchura.

Distribución normal: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
  2. Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
  3. Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
  4. Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Distribución normal: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Leer la tabla para la cola equivocada.
  • Olvidar dividir entre σ.
  • Usar el signo de z al revés para percentiles por debajo del 50 %.
Distribución normal: ¿qué se practica?
  • Fácil: área en una cola
  • Media: área entre dos valores
  • Difícil: percentiles

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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