Matemáticas para la ingeniería: problemas de práctica y preguntas de examen

Las matemáticas en las que se apoyan los cursos de ingeniería: cálculo, números complejos, matrices, probabilidad y estadística.

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Pack de repaso (PDF)Hojas de fórmulas, pasos de los métodos y problemas de práctica con soluciones completas, listos para imprimir.

Temas de esta asignatura

  1. Límitessustitución directa y factorización · límites en el infinito · Regla de L'Hôpitalcálculos
  2. Derivadasregla de la potencia · reglas de la cadena y del producto · tangentes y extremoscálculos
  3. Integralespolinomios · exponenciales, logaritmos y sustitución · áreas entre curvascálculos
  4. Números complejosaritmética en forma rectangular · forma polar y exponencial · De Moivre, raíces y ecuacionescálculos
  5. Ecuaciones diferencialescrecimiento y decrecimiento exponencial · Ley de enfriamiento de Newton · lineales de primer ordencálculos
  6. Matrices y determinantesdeterminante 2×2 · 3×3 y productos · valores propios y sistemascálculos
  7. Vectores: producto escalar y vectorialmódulo y componentes · producto escalar · producto vectorial y momentoscálculos
  8. Probabilidadresultados equiprobables · recuento y complementario · distribución binomialcálculos
  9. Estadística descriptivamedia y mediana · desviación típica · distribución normalcálculos
  10. Distribución normalárea en una cola · área entre dos valores · percentilescálculos

Consejos para el examen de Matemáticas para la ingeniería

  • Comprueba las dimensiones de un producto de matrices antes de multiplicar.
  • Un determinante igual a cero significa que la matriz no tiene inversa.
  • Haz un esbozo de la función antes de derivarla o integrarla; el esbozo detecta los errores de signo.

Ejemplos resueltos

LímitesFácil
xyx = 1

Halla el límite L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Calcula L

Mostrar pistas
  1. La sustitución da 0/0. Factoriza el numerador.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).

Prueba la sustitución directa

numerador → 0 y denominador → 0, así que la forma es 0/0.

Factorizar y simplificar

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Sustituir

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Respuesta

L = 4

Esto es la derivada de xⁿ en x = a: n·aⁿ⁻¹.

DerivadasMedia
xyx = 1

Sea f(x) = x3·e−x. Calcula f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Calcula f′(1)

Mostrar pistas
  1. Regla del producto con u = x3 y v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Sustituir

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Respuesta

f′(1) = 0,7358

Cómo funciona la práctica

  • «Practicar esta asignatura» mezcla problemas de todos sus temas, como en un examen real.
  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Los simulacros de examen son cronometrados y no tienen pistas; al final recibes tu nota y una revisión completa.

Calculadoras para esta asignatura

Calculadora de puntuación z y probabilidad normalCalculadora de media, mediana y desviación típicaCalculadora de determinante e inversa de una matrizCalculadora de la distribución normalCalculadora de la distribución binomialCalculadora de la distribución de PoissonCalculadora de permutaciones y combinaciones (nPr y nCr)Calculadora de valores y vectores propiosCalculadora del valor esperado y la varianzaCalculadora de periodo de semidesintegración y decaimiento exponencialCalculadora de cifras significativas (contar, redondear y calcular)Calculadora de error porcentual (y diferencia porcentual)Resolución de ecuaciones de segundo grado (ax² + bx + c = 0)Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (2×2 y 3×3)Calculadora de derivadas con pasosCalculadora de integrales (definidas e indefinidas)

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