Probabilidad: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: cálculo de probabilidades · probabilidad condicionada · diagrama de árbol

Problemas gratis de Probabilidad con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: resultados equiprobables, recuento y complementario, distribución binomial.

Problema de práctica gratisFácil
suma ≥ 4dado 1dado 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Se lanzan dos dados equilibrados. ¿Cuál es la probabilidad P de que la suma sea al menos 4?

2 dados≥ 4

Da la probabilidad como número decimal entre 0 y 1.

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Qué practicas

  1. Fácilresultados equiprobables
  2. Mediarecuento y complementario
  3. Difícildistribución binomial

Fórmulas clave

Complementario
P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Aprende Probabilidad desde cero

1Qué es la probabilidad

Una probabilidad es un número entre 0 y 1 que indica lo probable que es algo. 0 significa que nunca ocurre, 1 significa que ocurre siempre.

Cuando todos los resultados son igualmente probables, cuéntalos:

P(A) = número de casos favorables / número total de casos

Una bolsa contiene 3 bolas rojas, 5 azules y 2 verdes, 10 en total. Si sacas una al azar, P(azul) = 5/10 = 0,5.

Un dado justo tiene 6 caras, así que P(seis) = 1/6 ≈ 0,167 y P(par) = 3/6 = 0,5.

Una probabilidad también puede escribirse como porcentaje: 0,5 es 50 %. Las respuestas de examen suelen ser decimales entre 0 y 1.

Autoevaluación Una bolsa contiene 2 bolas rojas, 8 azules y 4 verdes. Sacas una al azar. ¿Cuánto vale P(roja)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Respuesta: 2/14 ≈ 0,143. Hay 2 + 8 + 4 = 14 bolas, y 2 son rojas: 2/14 ≈ 0,143. Dividir entre 12 cuenta solo las otras bolas, pero el total debe incluir también las rojas.

2Reglas para combinar sucesos

  • Complemento: P(no A) = 1 − P(A). Úsalo en las preguntas de «al menos uno»: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno).
  • Y, sucesos independientes: multiplica. Dos monedas justas dan P(dos caras) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • O: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B). Resta la intersección para no contarla dos veces.

Sacar sin reemplazo cambia la bolsa. Después de sacar una bola roja, hay una bola roja menos y una bola menos en total.

Con 5 bolas rojas y 4 azules, P(dos rojas) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Para contar grupos en los que el orden no importa, usa combinaciones. El número de formas de elegir k elementos de n es:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Aquí n! = n · (n − 1) · … · 1. Así, C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 comités de 4 personas entre 6.

Autoevaluación Una bolsa contiene 5 bolas rojas y 4 azules. Sacas dos sin devolver la primera. ¿Cuánto vale P(ambas rojas)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Respuesta: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Usar 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 olvida que la primera bola roja ya no está en la bolsa.

3La distribución binomial

Algunas preguntas repiten el mismo ensayo n veces: probar 5 componentes, adivinar 8 respuestas, lanzar una moneda 3 veces. Cada ensayo es un éxito con probabilidad p, independientemente de los demás.

El número de éxitos X sigue entonces una distribución binomial:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: los k éxitos.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: los n − k fracasos.
  • C(n, k): el número de órdenes distintos en que pueden caer los éxitos.

Para «como máximo uno», suma P(X = 0) y P(X = 1). Para «al menos uno», usa 1 − P(X = 0).

Autoevaluación Lanzas una moneda justa 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Respuesta: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Olvidar C(3, 2) da 0,125: es un solo orden, como CCX, pero XCC y CXC también cuentan.

4El método paso a paso

  1. Anota qué es un resultado y cuántos resultados hay en total.
  2. Traduce las palabras: «y» significa multiplicar, «o» significa sumar (menos la intersección), «no» significa 1 − P.
  3. Para «al menos uno», calcula primero el complemento «ninguno».
  4. Sin reemplazo: reduce las cuentas después de cada extracción. O cuenta con combinaciones.
  5. Ensayos independientes repetidos con p fija: usa la fórmula binomial.
  6. Comprueba que la respuesta esté entre 0 y 1.

Un diagrama de árbol ayuda cuando hay varios pasos: multiplica a lo largo de una rama y suma las ramas que necesitas.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Una bolsa contiene 4 bolas rojas y 6 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que al menos una sea roja?

1

Usa el complemento

«Al menos una roja» tiene tres casos: roja–roja, roja–azul y azul–roja. Lo contrario, «ninguna roja», tiene un solo caso: azul–azul.

P(al menos una roja) = 1 − P(ambas azules)
2

Primera extracción

Hay 6 bolas azules de 10.

P(primera azul) = 6/10
3

Segunda extracción

Ya no está una bola azul, así que quedan 5 bolas azules de 9.

P(ambas azules) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

En el árbol, R es una bola roja y B una azul. La rama en negrita es azul–azul.

4

Toma el complemento

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Comprueba la respuesta

Cuenta con combinaciones: hay C(10, 2) = 45 pares, y C(6, 2) = 15 de ellos son azul–azul. 15/45 = 1/3, lo mismo que antes.

Las otras tres ramas del árbol suman 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 también.

Respuesta

P = 2/3 ≈ 0,667

6Errores frecuentes

  • Sumar probabilidades para «al menos uno» en lugar de usar 1 − P(ninguno).
  • Olvidar reducir las cuentas al sacar sin reemplazo.
  • Olvidar el factor C(n, k) en la fórmula binomial.
  • Dividir entre el total equivocado, por ejemplo solo los otros colores.
  • Dar una probabilidad por encima de 1 o por debajo de 0. Es siempre señal de un error.
Autoevaluación Lanzas un dado justo dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un seis?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Respuesta: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(ningún seis) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Sumar 1/6 + 1/6 da 1/3, que cuenta dos veces el caso de dos seises.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: resultados igualmente probables. Una extracción de una bolsa de bolas de colores, o un lanzamiento de un dado.
  • Medio: recuento y complementos. Comités con C(n, k), o dos extracciones sin reemplazo.
  • Difícil: la distribución binomial. Exactamente k éxitos, o «como máximo uno» como P(X = 0) + P(X = 1).

Da la respuesta como un decimal entre 0 y 1, redondeado a tres o cuatro decimales.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

La tabla da la distribución de probabilidad de X, pero falta una probabilidad. Halla P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Calcula P(X = 1)

Mostrar pistas
  1. Todas las probabilidades de una distribución suman 1.
  2. Suma las probabilidades conocidas.
  3. P = 1 − 0,75.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.

Suma de las probabilidades conocidas

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Probabilidad que falta

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Respuesta

P(X = 1) = 0,25
Ejemplo 2Media
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Calcula Var(X)

Mostrar pistas
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Entonces E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Varianza

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Respuesta

Var(X) = 1,848
Ejemplo 3Difícil
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Un examen tiene 12 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,3, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 5?

n = 12p = 0,3k = 5

Calcula P

Mostrar pistas
  1. Es una distribución binomial: número fijo de ensayos independientes, misma probabilidad de éxito.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Fórmula binomial

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Respuesta

P = 0,1585

Preguntas y respuestas

Probabilidad: ¿qué es?

Una probabilidad es un número entre 0 y 1 que indica lo probable que es algo. 0 significa que nunca ocurre, 1 significa que ocurre siempre.

Cuando todos los resultados son igualmente probables, cuéntalos:

Probabilidad: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.

Probabilidad: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Esa es la suma de las probabilidades conocidas. La que falta es 1 menos esa suma.
  • Los valores no son equiprobables: usa el hecho de que todas las probabilidades suman 1.
  • E(X²) no es la varianza: resta μ².
Probabilidad: ¿qué se practica?
  • Fácil: resultados equiprobables
  • Media: recuento y complementario
  • Difícil: distribución binomial

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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