Intervalos de confianza: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: intervalo de confianza · estimación por intervalos

Problemas gratis de Intervalos de confianza con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: intervalo z, intervalo t, tamaño muestral.

Problema de práctica gratisFácil
LU = ?p̂ = 55/100E90%

En una encuesta a 100 votantes elegidos al azar, 55 apoyan una propuesta. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la proporción de partidarios.

n = 100x = 5590%
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Qué practicas

  1. Fácilintervalo z
  2. Mediaintervalo t
  3. Difíciltamaño muestral

Cómo resolver problemas de Intervalos de confianza

  1. Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
  2. Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
  3. Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Errores frecuentes

  • Olvidar dividir entre √n.
  • Usar z cuando la muestra es pequeña y σ es desconocida.
  • Redondear el tamaño muestral hacia abajo en lugar de hacia arriba.

Fórmulas clave

σ conocida
x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral
n = (z·σ/E)², rounded up

Aprende Intervalos de confianza desde cero

Antes de esto: Distribución normal

1Qué es un intervalo de confianza

Quieres la media μ de toda una población, por ejemplo la duración media de todas las baterías que fabrica una fábrica. No puedes probarlas todas, así que pruebas una muestra de n baterías.

La media muestral x̄ es tu mejor estimación de μ, pero otra muestra daría una x̄ ligeramente distinta. Un solo número oculta esa incertidumbre.

Un intervalo de confianza da en su lugar un rango: de x̄ menos un margen hasta x̄ más un margen.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

Un intervalo de confianza del 95 % se construye con un método que atrapa la verdadera μ en el 95 % de todas las muestras. Un nivel de confianza mayor da un intervalo más ancho.

Autoevaluación Calculas un intervalo de confianza del 90 % y otro del 99 % con la misma muestra. ¿Cuál es más ancho?
  1. Depende de la media muestral
  2. El intervalo del 90 %
  3. El intervalo del 99 %
  4. Tienen el mismo ancho

Respuesta: El intervalo del 99 %. Para estar más seguros de que el intervalo contiene μ, tiene que ser más ancho. El valor crítico del 99 %, 2,576, es mayor que el del 90 %, 1,645.

2El intervalo z

Cuando se conoce la desviación típica poblacional σ, el intervalo es:

x̄ ± z · σ / √n

El término σ/√n es el error estándar: cuánto varía x̄ de una muestra a otra. Una muestra mayor da un error estándar menor.

El valor crítico z depende del nivel de confianza. Aprende estos tres:

  • 90 %: z = 1,645
  • 95 %: z = 1,96
  • 99 %: z = 2,576

El margen de error es E = z · σ/√n. El intervalo va de x̄ − E (el límite inferior) a x̄ + E (el límite superior).

Autoevaluación Una muestra de 64 tiene media 55. La σ poblacional es 12. ¿Cuál es el límite superior del intervalo de confianza del 95 %?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Respuesta: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, así que el límite superior es 57,94. Olvidar √n da 78,52, y 57,47 usa el valor del 90 %, 1,645.

3El intervalo t y el tamaño de la muestra

Normalmente no se conoce σ. Entonces usas la desviación típica muestral s, y el valor crítico sale de la distribución t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

El número de grados de libertad gl es n − 1. El valor t es mayor que z, así que el intervalo es más ancho: tiene en cuenta la incertidumbre adicional de s. Para n grande, t se acerca a z.

Al 95 %: t = 2,262 para gl = 9, t = 2,131 para gl = 15 y t = 2,045 para gl = 29.

A veces hay que planificar el tamaño de la muestra: ¿qué tamaño debe tener n para un margen de error de como máximo E? Despeja n en E = zσ/√n:

n = (z · σ / E)²

Redondea siempre hacia arriba al siguiente número entero. Redondear hacia abajo daría un margen ligeramente mayor que E.

Autoevaluación σ = 13. ¿Qué tamaño debe tener la muestra para un intervalo del 95 % con un margen de error de como máximo 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Respuesta: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, redondeado hacia arriba es 163. Redondear hacia abajo a 162 da un margen justo por encima de 2, y 13 olvida elevar al cuadrado.

4El método paso a paso

  1. Anota n, x̄, y σ o s.
  2. Elige z (σ conocida) o t con gl = n − 1 (solo se conoce s).
  3. Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
  4. Calcula el error estándar: σ/√n o s/√n.
  5. Margen de error: E = valor crítico × error estándar.
  6. Intervalo: de x̄ − E a x̄ + E. Da el límite que te piden.

Para una pregunta de tamaño de muestra: n = (zσ/E)², redondeado hacia arriba.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Una muestra de 16 elementos tiene media 40 y desviación típica s = 6. La población es aproximadamente normal. Halla el intervalo de confianza del 95 % para la media.

1

¿z o t?

Solo se conoce la desviación típica muestral s, no σ. Así que usa t con gl = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Error típico

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Margen de error

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

El intervalo

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Comprueba la respuesta

Con z = 1,96 el margen sería 2,94. El intervalo t es algo más ancho, como debe ser cuando se desconoce σ.

Respuesta

El intervalo de confianza del 95 % es [36,80, 43,20].

6Errores frecuentes

  • Olvidar dividir entre √n.
  • Usar z cuando la muestra es pequeña y σ es desconocida.
  • Usar gl = n en lugar de gl = n − 1 para t.
  • Usar el valor del 90 %, 1,645, para un intervalo del 95 %.
  • Redondear el tamaño muestral hacia abajo en lugar de hacia arriba.
Autoevaluación Una muestra de n = 10 tiene desviación típica s = 5. Se desconoce σ. ¿Qué valor crítico usas para un intervalo del 95 %?
  1. t = 2,228 (gl = 10)
  2. t = 2,262 (gl = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Respuesta: t = 2,262 (gl = 9). Se desconoce σ, así que usa t con gl = n − 1 = 9. Usar z ignora la incertidumbre de s, y gl = 10 olvida restar uno.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: un intervalo z. Se conoce σ; halla el límite inferior o el superior.
  • Medio: un intervalo t. Solo se da s; el valor t con n − 1 grados de libertad se da o sale de una tabla.
  • Difícil: tamaño de la muestra. Halla el menor n para un margen de error dado y redondea hacia arriba.

Una comprobación rápida: la media muestral queda siempre exactamente en el centro del intervalo.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Una muestra de 200 medidas tiene media 174,5. Se sabe que la desviación típica poblacional es 30. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Calcula límite superior

Mostrar pistas
  1. σ es conocida, así que usa el valor crítico z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Margen de error

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Intervalo

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Respuesta

límite superior = 178
Ejemplo 2Media
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Un intervalo de confianza del 95 % para una media, basado en 50 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 7,8. ¿Cuál es el margen de error E₂ si el mismo estudio usa 100 observaciones?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Calcula E₂

Mostrar pistas
  1. E = z·σ/√n, y σ no cambia.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Relación de márgenes

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Nuevo margen

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Respuesta

E₂ = 5,515
Ejemplo 3Difícil
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Los diámetros de 21 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 1,2 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite superior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 20, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 9,591 y el 2,5 % queda por encima de 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Calcula σ (µm)

Mostrar pistas
  1. En una población normal, (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad.
  2. Intervalo para σ²: de (n − 1)s²/34,17 a (n − 1)s²/9,591. Saca raíces cuadradas para σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.

Suma de cuadrados

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Límites para σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Límite para σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Respuesta

σ = 1,733 µm

Intervalo del 95 % para σ: [0,9181, 1,733] µm.

Preguntas y respuestas

Intervalos de confianza: ¿qué es?

Quieres la media μ de toda una población, por ejemplo la duración media de todas las baterías que fabrica una fábrica. No puedes probarlas todas, así que pruebas una muestra de n baterías.

La media muestral x̄ es tu mejor estimación de μ, pero otra muestra daría una x̄ ligeramente distinta. Un solo número oculta esa incertidumbre.

Intervalos de confianza: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
  2. Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
  3. Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.
Intervalos de confianza: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Olvidar dividir entre √n.
  • Usar z cuando la muestra es pequeña y σ es desconocida.
  • Redondear el tamaño muestral hacia abajo en lugar de hacia arriba.
Intervalos de confianza: ¿qué se practica?
  • Fácil: intervalo z
  • Media: intervalo t
  • Difícil: tamaño muestral

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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