Límites: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: cálculo de límites · regla de L’Hôpital · indeterminaciones
Problemas gratis de Límites con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: sustitución directa y factorización, límites en el infinito, Regla de L'Hôpital.
Aprende Límites desde cero
1Qué es un límite
Un límite describe el valor al que una función se acerca cuando x se acerca a un número. No importa qué ocurra exactamente en ese número.
Toma f(x) = (x² − 1)/(x − 1). En x = 1 sale 0/0, que no tiene valor. Pero puedes probar números cercanos a 1.
- x = 0,9 da f = 1,9.
- x = 0,99 da f = 1,99.
- x = 1,01 da f = 2,01.
Los valores se acercan cada vez más a 2. Escribimos:
limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
La gráfica es una recta a la que le falta un punto, un hueco en (1, 2). El límite es la altura del hueco.
Autoevaluación Una función g da g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 y g(3,01) = 6,01. No está definida en x = 3. ¿Cuál es el límite cuando x → 3?
- 3
- 5,99
- 6
- No existe, porque g(3) no está definida
Respuesta: 6. Los valores se acercan a 6 por ambos lados, así que el límite es 6. Un límite solo mira los valores cerca de x = 3, nunca el propio x = 3.
2Sustitución, 0/0 y factorización
Prueba siempre primero la sustitución directa: pon el número. Si sale un número normal, ese es el límite.
limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10
Si sale 0/0, no has terminado. 0/0 se llama forma indeterminada: es una señal para simplificar, no una respuesta.
Normalmente el numerador y el denominador comparten un factor que vale cero en ese punto. Factoriza ambos, cancela el factor común y sustituye de nuevo.
(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3
Así que el límite cuando x → 3 es 3 + 3 = 6. Patrones de factorización útiles:
- x² − a² = (x − a)(x + a)
- x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
- x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
- Un trinomio como x² − x − 30 se factoriza como (x − 6)(x + 5): busca dos números que multipliquen −30 y sumen −1.
Con una raíz cuadrada, multiplica numerador y denominador por el conjugado: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.
Autoevaluación ¿Cuánto es limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
- 0
- 2
- 4
- No existe, porque sale 0/0
Respuesta: 4. La sustitución da 0/0, así que factoriza: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, que vale 4 en x = 2. Quedarse en 0/0 es el error que lleva a “no existe”.
3Límites en el infinito y regla de L’Hôpital
x → ∞ significa que x crece sin fin. En una fracción de polinomios, solo importan las potencias más altas cuando x es enorme.
Divide cada término entre la potencia más alta de x del denominador. Términos como 4/x y 7/x² tienden a 0.
(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
- Misma potencia más alta arriba y abajo: el límite es el cociente de los coeficientes principales.
- Potencia más alta en el denominador: el límite es 0.
- Potencia más alta en el numerador: la fracción crece sin fin, así que no hay límite finito.
Para √(x² + 6x) − x, multiplica por el conjugado. Obtienes 6x/(√(x² + 6x) + x), que tiende a 6/(1 + 1) = 3.
Regla de L’Hôpital: si la sustitución da 0/0 o ∞/∞, puedes sustituir el numerador y el denominador por sus derivadas, cada una por separado.
limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1
Si vuelve a salir 0/0, aplica la regla otra vez. Los límites trigonométricos siempre usan x en radianes.
Autoevaluación ¿Cuánto es limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
- 0
- 2
- ½
- ∞
Respuesta: 2. Las potencias más altas son iguales (x²), así que el límite es el cociente de los coeficientes principales: 4/2 = 2. ½ sale de dividir al revés.
4El método paso a paso
- Sustituye el número. Un número normal es la respuesta.
- Si sale 0/0, factoriza el numerador y el denominador, o multiplica por el conjugado si hay una raíz.
- Cancela el factor común y sustituye de nuevo.
- Si x → ∞, divide cada término entre la potencia más alta de x y deja que términos como a/x tiendan a 0.
- Si factorizar no funciona (eˣ, sen, cos, ln), usa la regla de L’Hôpital en la forma 0/0 o ∞/∞.
- Comprueba con un número muy cercano al punto, por ejemplo x = 1,001.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resueltoHalla L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).
1((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0
Es la forma indeterminada 0/0, así que primero debes simplificar.
28 = 2³, así que el numerador es una suma de cubos con a = 2.
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4
Esto está permitido porque x solo se acerca a −2, así que x + 2 nunca vale exactamente 0.
4(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5Prueba x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, que está cerca de 12.
La gráfica es la parábola x² − 2x + 4 con un hueco en (−2, 12).
6Errores frecuentes
- Escribir 0/0 como respuesta, o decir que el límite no existe. 0/0 significa: simplifica primero.
- Usar la regla de L’Hôpital cuando la sustitución no da 0/0 ni ∞/∞.
- Usar la regla del cociente dentro de la regla de L’Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado.
- En el infinito, comparar los primeros términos escritos en lugar de las potencias más altas.
- Usar grados en lugar de radianes en límites con sen o cos.
Autoevaluación ¿Cuánto es limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
- 0
- 1
- 2
- No existe
Respuesta: 1. La sustitución da 2/2 = 1, un número normal, así que ese es el límite. Usar L’Hôpital aquí (2x/1 = 2) es incorrecto, porque la forma no era 0/0.
7Cómo son las preguntas de examen
- Fácil: sustitución directa y factorización. La sustitución da 0/0, luego factorizas y cancelas, como en el ejemplo.
- Medio: límites en el infinito. Divide entre la potencia más alta, o usa el conjugado para una raíz como √(x² + 4x) − x.
- Difícil: la regla de L’Hôpital, por ejemplo (eˣ − 1 − x)/x² o (1 − cos 3x)/x² cuando x → 0. Puede que necesites la regla dos veces.
Una comprobación rápida: pon con la calculadora un número muy cercano al punto. El resultado debe estar cerca de tu respuesta.
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