Derivadas: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: cálculo de derivadas · reglas de derivación · regla de la cadena

Problemas gratis de Derivadas con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: regla de la potencia, reglas de la cadena y del producto, tangentes y extremos.

Problema de práctica gratisFácil
xyx = −2

Sea f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Calcula la pendiente de la gráfica en x = −2, es decir, f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
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Qué practicas

  1. Fácilregla de la potencia
  2. Mediareglas de la cadena y del producto
  3. Difíciltangentes y extremos

Cómo resolver problemas de Derivadas

  1. Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
  2. Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
  3. Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
  4. Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Errores frecuentes

  • Olvidar la derivada interior en la regla de la cadena.
  • Equivocarse con el orden en la regla del cociente.
  • Tratar un múltiplo constante como un producto.

Fórmulas clave

Regla de la potencia
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto
(uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Aprende Derivadas desde cero

Antes de esto: Límites

1Qué es una derivada

Una derivada mide la rapidez con que cambia algo. Si la posición de un coche cambia 50 km cada hora, su velocidad es 50 km/h: la tasa de cambio de la posición.

En una gráfica, la derivada en un punto es la pendiente de la curva en ese punto: lo empinada que sube o baja si te acercas mucho.

Esa pendiente es la de la tangente, la recta que justo toca la curva en ese punto.

xy(1, 1)m = 2

Para y = x² la tangente en x = 1 tiene pendiente 2. Escribimos f′(1) = 2, que se lee “f prima de 1”.

  • Derivada positiva: la gráfica sube.
  • Derivada negativa: la gráfica baja.
  • Derivada cero: la gráfica es plana ahí, por ejemplo en un máximo o un mínimo.
Autoevaluación En un punto donde la gráfica de f baja, la derivada es…
  1. cero
  2. indefinida
  3. negativa
  4. positiva

Respuesta: negativa. La derivada es la pendiente. Una gráfica que baja de izquierda a derecha tiene pendiente negativa.

2Las reglas básicas

No necesitas límites cada vez. Unas pocas reglas cubren la mayoría de las funciones.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Esta es la regla de la potencia: baja el exponente como factor y réstale uno al exponente. Así (x³)′ = 3x² y (x)′ = 1.

  • Una constante sola tiene derivada 0: no cambia.
  • Un factor constante se mantiene: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • En una suma, deriva cada término por separado.

Aprende también estas: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x y (cos x)′ = −sin x.

Autoevaluación ¿Cuál es la derivada de 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Respuesta: 12x² − 2. Regla de la potencia en cada término: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 y la constante 7 da 0.

3Reglas del producto y de la cadena

Dos reglas más sirven para funciones construidas a partir de otras funciones.

Regla del producto, para dos funciones multiplicadas:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Regla de la cadena, para una función dentro de otra: deriva la función exterior, deja la interior como está y multiplica por la derivada de la interior.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

La regla del cociente se deduce de estas dos: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Autoevaluación ¿Cuál es la derivada de (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Respuesta: 6(2x + 5)². Exterior: 3(2x + 5)². Interior: (2x + 5)′ = 2. Multiplica: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Olvidar el 2 interior es el despiste clásico.

4El método paso a paso

  1. Fíjate en la estructura: una suma de términos, un producto, un cociente o una función dentro de otra función.
  2. Reescribe primero raíces y fracciones como potencias: √x = x1/2 y 1/x² = x−2.
  3. Aplica las reglas de fuera hacia dentro, una pieza cada vez.
  4. Simplifica el resultado.
  5. Si se pide un valor, sustituye el número solo al final.

Para hallar un máximo o un mínimo de una gráfica (un extremo), resuelve f′(x) = 0. La segunda derivada te dice de cuál se trata: f″ < 0 es un máximo y f″ > 0 un mínimo.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Sea f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Halla la pendiente en x = 0, y el máximo y el mínimo locales.

1

Derivar término a término

Usa la regla de la potencia en cada término. La constante 1 desaparece.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

La pendiente en x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Así que la tangente en x = 0 sube 9 unidades por cada unidad hacia la derecha.

3

Igualar la derivada a cero

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

¿Cuál es el máximo?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 es negativa, así que x = 1 es un máximo. f″(3) = 6 es positiva, así que x = 3 es un mínimo.

5

Halla los valores

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

La gráfica lo confirma: es plana en ambos puntos, con un máximo en (1, 5) y un mínimo en (3, 1).

Respuesta

f′(0) = 9. Máximo local en (1, 5), mínimo local en (3, 1).

6Errores frecuentes

  • Olvidar la derivada de la función interior en la regla de la cadena.
  • Escribir (u · v)′ = u′ · v′. La regla del producto tiene dos términos.
  • Equivocar el orden en la regla del cociente: arriba va u′v − uv′, con un menos.
  • Sustituir el número antes de derivar. Deriva primero y sustituye después.
  • Tratar un múltiplo constante como 5x³ como un producto. Es más sencillo: el 5 simplemente se queda.
Autoevaluación ¿Cuál es la derivada de √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Respuesta: 1/(2√x). √x = x1/2, así que la derivada es ½x−1/2 = 1/(2√x). Reescribir primero la raíz como potencia lo hace fácil.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: un polinomio. Usa la regla de la potencia y halla la pendiente en un x dado.
  • Medio: la regla de la cadena o del producto, por ejemplo (2x + 5)⁵ o x²·e−x, evaluada en un punto.
  • Difícil: tangentes y extremos. Resuelve f′(x) = 0 y decide qué punto es el máximo.

Una comprobación rápida para las preguntas de pendiente: mira la gráfica mentalmente. Si sube ahí, tu respuesta debería ser positiva.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
xyx = 1

Sea f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Calcula la pendiente de la gráfica en x = 1, es decir, f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Calcula f′(1)

Mostrar pistas
  1. Deriva término a término con la regla de la potencia (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Una constante desaparece.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Ahora sustituye x = 1.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Derivar término a término

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Sustituir

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Respuesta

f′(1) = −6
Ejemplo 2Media
xyx = 1

Sea f(x) = x3·e−x. Calcula f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Calcula f′(1)

Mostrar pistas
  1. Regla del producto con u = x3 y v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Sustituir

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Respuesta

f′(1) = 0,7358
Ejemplo 3Difícil
xy

Sea f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Calcula la coordenada x x del mínimo local.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Calcula x

Mostrar pistas
  1. En un máximo o mínimo local la derivada es cero.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. En una cúbica con término x³ positivo, el máximo va primero (x menor) y el mínimo después.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Derivada

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Resolver f′(x) = 0

x = 3 o x = 6

Cuál es cuál

f″(x) = 6x − 27: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Respuesta

x = 6

Preguntas y respuestas

Derivadas: ¿qué es?

Una derivada mide la rapidez con que cambia algo. Si la posición de un coche cambia 50 km cada hora, su velocidad es 50 km/h: la tasa de cambio de la posición.

En una gráfica, la derivada en un punto es la pendiente de la curva en ese punto: lo empinada que sube o baja si te acercas mucho.

Derivadas: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
  2. Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
  3. Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
  4. Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.
Derivadas: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Olvidar la derivada interior en la regla de la cadena.
  • Equivocarse con el orden en la regla del cociente.
  • Tratar un múltiplo constante como un producto.
Derivadas: ¿qué se practica?
  • Fácil: regla de la potencia
  • Media: reglas de la cadena y del producto
  • Difícil: tangentes y extremos

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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