Integrales: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: integrales indefinidas · integrales definidas · integración por partes

Problemas gratis de Integrales con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: polinomios, exponenciales, logaritmos y sustitución, áreas entre curvas.

Problema de práctica gratisFácil
xy−2−1

Calcula I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
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Qué practicas

  1. Fácilpolinomios
  2. Mediaexponenciales, logaritmos y sustitución
  3. Difíciláreas entre curvas

Cómo resolver problemas de Integrales

  1. Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
  2. Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de ex, 1/x, sin y cos.
  3. Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
  4. En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Errores frecuentes

  • Olvidar dividir entre la nueva potencia.
  • No cambiar los límites de integración después de un cambio de variable.
  • Olvidar + C en una integral indefinida.

Fórmulas clave

Regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas
∫ab (f − g) dx

Aprende Integrales desde cero

Antes de esto: Derivadas

1Qué es una integral

Una integral suma una cantidad que cambia. La imagen más clara es un área bajo una gráfica.

Un coche circula a 20 m/s durante 5 s. Recorre 20 · 5 = 100 m. En una gráfica velocidad–tiempo, eso es el área del rectángulo bajo la línea.

xy520100

Cuando la velocidad cambia, la forma bajo la gráfica es curva, pero la idea es la misma: el área es la distancia.

Escribimos el área bajo f entre x = a y x = b como:

∫ab f(x) dx

Los números a y b son los límites de la integral. El dx indica que x es la variable.

Autoevaluación Un ciclista circula a una velocidad constante de 10 m/s durante 4 s. ¿Cuál es el área bajo la gráfica velocidad–tiempo?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Respuesta: 40 m. El área es un rectángulo: altura 10 m/s por ancho 4 s da 40 m. Dividir 10 entre 4 da 2,5, que no es un área.

2Primitivas y la regla de la potencia

Integrar es derivar al revés. Una primitiva F de f es una función cuya derivada es f.

Como (x³)′ = 3x², una primitiva de 3x² es x³. Se puede añadir cualquier constante, así que escribimos ∫3x² dx = x³ + C.

La regla de la potencia para integrales: sube la potencia en uno y luego divide entre la nueva potencia.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Un factor constante se queda delante: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Una constante sola: ∫4 dx = 4x + C.
  • En una suma, integra cada término por separado.

Aprende también estas: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sen x y ∫sen x dx = −cos x.

Siempre puedes comprobar una primitiva: derívala y debes recuperar la función original.

Autoevaluación ¿Cuánto es ∫6x² dx?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Respuesta: 2x³ + C. Sube la potencia a 3 y divide entre 3: 6x³/3 = 2x³. 12x es la derivada, no la integral, y 6x³ olvida dividir entre la nueva potencia.

3Integrales definidas y áreas

Una integral definida tiene límites y da un número. Halla una primitiva F y resta sus valores en los dos límites.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

La constante C se cancela en la resta, así que aquí puedes omitirla.

Ejemplo: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, porque ln 1 = 0.

La sustitución ayuda cuando una función está dentro de otra. Para e0,5x, toma u = 0,5x. El resultado es la regla de arriba: divide entre 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

El área entre dos curvas es la integral de la curva superior menos la inferior, entre los puntos donde se cortan.

Para y = 2x e y = x², las curvas se cortan en x = 0 y x = 2. En ese intervalo 2x queda por encima.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Autoevaluación Las curvas y = x e y = x² se cortan en x = 0 y x = 1. Entre ellas, y = x queda por encima. ¿Cuál es el área encerrada?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Respuesta: 1/6. ∫(x − x²) dx de 0 a 1 es 1/2 − 1/3 = 1/6. Si restas la de abajo menos la de arriba sale −1/6, y si sumas las dos integrales sale 5/6.

4El método paso a paso

  1. Reescribe la función como suma de términos simples. Escribe raíces y fracciones como potencias: √x = x1/2.
  2. Halla una primitiva de cada término con la regla de la potencia o con una integral estándar.
  3. Compruébalo rápido derivando mentalmente.
  4. En una integral definida, calcula F(b) y F(a) por separado.
  5. Resta: F(b) − F(a). Cuidado con los signos menos cuando a es negativo.

Para un área entre curvas, primero resuelve f(x) = g(x) para hallar los límites y después integra la de arriba menos la de abajo.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Calcula I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Integra término a término

3x² da 3x³/3 = x³. 2x da 2x²/2 = x². La constante 1 da x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Comprueba derivando

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Esta es la función original, así que F es correcta.

3

Valor en el límite superior

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Valor en el límite inferior

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Resta

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

La integral es el área sombreada bajo la curva entre x = 0 y x = 2.

Respuesta

I = 14

6Errores frecuentes

  • Olvidar dividir entre la nueva potencia.
  • Derivar en lugar de integrar: bajar la potencia en vez de subirla.
  • Escribir ∫1/x dx como x⁰/0. La regla de la potencia no funciona para n = −1; usa ln|x|.
  • Olvidar los signos menos en F(a) cuando a es negativo, por ejemplo (−1)³ = −1.
  • Olvidar + C en una integral indefinida, o no cambiar los límites tras una sustitución.
Autoevaluación ¿Cuánto es ∫02 x³ dx?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Respuesta: 4. F(x) = x⁴/4, así que F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Si olvidas dividir entre la nueva potencia 4 sale 16.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: una integral definida de un polinomio, a veces con límites negativos. Usa la regla de la potencia y F(b) − F(a).
  • Medio: exponenciales, logaritmos y sustitución, como ∫e0,5x dx o ∫3/x dx entre dos límites.
  • Difícil: el área encerrada por dos curvas, como y = x² e y = 4x. Halla dónde se cortan y después integra la de arriba menos la de abajo.

Una comprobación rápida: el área encerrada por dos curvas siempre es positiva. Si te sale un número negativo, restaste en el orden equivocado.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
xy3y = 0,5x

La región bajo y = 0,5x desde x = 0 hasta x = 3 gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido (un cono).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Calcula V

Mostrar pistas
  1. Una rebanada en x es un disco de radio y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Método de los discos

V = π∫₀3 0,25x² dx

Integrar

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Respuesta

V = 7,069

Comprobación: un cono de radio 1,5 y altura 3 tiene (1/3)πr²h = 7,069.

Ejemplo 2Media
xy2y = x·cos x

Calcula I = ∫₀2 x·cos x dx (x en radianes).

∫₀2 x·cos x dx

Calcula I

Mostrar pistas
  1. Toma u = x y dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Límites

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Respuesta

I = 0,4024
Ejemplo 3Difícil
xyy = 2x2​y = x

Calcula el área A de la región encerrada entre y = 2x2 e y = x.

y = 2x2y = x

Calcula A

Mostrar pistas
  1. Primero busca dónde se cortan las curvas: iguálalas.
  2. Se cortan en x = 0 y x = 0,5. Entre ellos la recta queda por encima de la parábola.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Puntos de corte

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Integrar superior menos inferior

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Respuesta

A = 0,04167

Preguntas y respuestas

Integrales: ¿qué es?

Una integral suma una cantidad que cambia. La imagen más clara es un área bajo una gráfica.

Un coche circula a 20 m/s durante 5 s. Recorre 20 · 5 = 100 m. En una gráfica velocidad–tiempo, eso es el área del rectángulo bajo la línea.

Integrales: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
  2. Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de ex, 1/x, sin y cos.
  3. Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
  4. En una integral definida, calcula F(b) − F(a).
Integrales: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Olvidar dividir entre la nueva potencia.
  • No cambiar los límites de integración después de un cambio de variable.
  • Olvidar + C en una integral indefinida.
Integrales: ¿qué se practica?
  • Fácil: polinomios
  • Media: exponenciales, logaritmos y sustitución
  • Difícil: áreas entre curvas

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

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