Matemáticas para ingeniería 2: problemas de práctica y preguntas de examen

Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = e^rt: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·e^rt (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.

Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.