Calculadora de valores y vectores propios
Introduce tus valores. La respuesta y la solución completa se actualizan mientras escribes.
Resultado
| Valor propio | Multiplicidad | Vector propio | Vector propio unitario |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0,8944, 0, 0,4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0,5774, 0,5774, −0,5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0,7071, 0, −0,7071) |
Halla los valores y vectores propios de una matriz 2×2 o 3×3. La calculadora desarrolla det(A − λI) hasta el polinomio característico, lo resuelve para obtener los valores propios reales o complejos con su multiplicidad y halla los vectores propios de cada valor propio real resolviendo (A − λI)v = 0. Cada vector propio se comprueba calculando A·v y, para valores propios repetidos, muestra si la matriz es diagonalizable.
Solución paso a paso
Ecuación característica det(A − λI) = 0
Valores propios
Vector propio (λ = 5)
Vector propio (λ = 3)
Vector propio (λ = 2)
Fórmulas clave
- Valores propios
- det(A − λI) = 0
Cómo hallar valores y vectores propios
- Resta λ a cada elemento de la diagonal de A para obtener A − λI.
- Iguala el determinante a cero: det(A − λI) = 0. Para una matriz 2×2 es λ² − (tr A)λ + det A = 0; para una matriz 3×3 es una ecuación cúbica.
- Resuelve la ecuación característica. Comprobación: los valores propios suman la traza y su producto es el determinante.
- Para cada valor propio, resuelve (A − λI)v = 0 por reducción de filas. Las soluciones forman una recta (o un plano); cualquier vector no nulo de ella es un vector propio.
- Comprueba cada vector propio: A·v debe ser igual a λ·v.
Preguntas y respuestas
¿Cómo introduzco la matriz?
Escribe las filas separadas por punto y coma y los números de cada fila separados por espacios, por ejemplo 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 para una matriz 3×3. Se admiten decimales y números negativos.
¿Por qué una matriz puede tener valores propios complejos?
El polinomio característico puede tener raíces complejas, y en una matriz real siempre aparecen en pares conjugados. La matriz de rotación 0 -1; 1 0 tiene los valores propios ±i, porque ningún vector real conserva su dirección en una rotación.
¿Qué significa un valor propio repetido?
Una raíz del polinomio característico con multiplicidad 2 o 3. La matriz puede tener aun así ese número de vectores propios independientes, como la matriz identidad, o menos. Con menos es defectuosa y no se puede diagonalizar.
¿Es único el vector propio?
No. Cualquier múltiplo no nulo de un vector propio también es un vector propio. La calculadora muestra una forma sencilla, con números enteros cuando es posible, y el vector unitario de longitud 1.
¿Para qué se usan los valores propios?
Dan las frecuencias naturales de los sistemas vibratorios, las tensiones principales de un tensor de tensiones, la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales y las direcciones principales en el análisis de componentes principales.
Practícalo tú mismo
Practica Matrices y determinantes
Una calculadora te da la respuesta. En el examen necesitas el método: practícalo con problemas nuevos, pistas y soluciones detalladas.