Calculadora de la distribución de Poisson

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Resultado

P(X ≥ 6)0,2149
P(X = 6)0,1042
Media4
Varianza4
Desviación típica2
kP(X = k)P(X ≤ k)
00,018320,01832
10,073260,09158
20,14650,2381
30,19540,4335
40,19540,6288
50,15630,7851
60,10420,8893
70,059540,9489
80,029770,9786
90,013230,9919
100,0052920,9972
110,0019250,9991
120,00064150,9997

Halla probabilidades de Poisson para el número de sucesos en un intervalo fijo, como llamadas por hora, defectos por metro o llegadas por minuto. Introduce la tasa media λ y un recuento x para obtener la probabilidad de exactamente x sucesos, como máximo x, al menos x, menos de x o más de x. Los pasos muestran la fórmula e^(−λ)·λˣ/x! para cada término y usan el complemento cuando es más corto.

Solución paso a paso

Fórmula de la probabilidad de Poisson

P(X = k) = e−λ·λk/k!
λ = 4

Usa el complemento (menos términos)

P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5)
P(X = 0) = e−4·40/0! = 0,01832
P(X = 1) = e−4·41/1! = 0,07326
P(X = 2) = e−4·42/2! = 0,1465
P(X = 3) = e−4·43/3! = 0,1954
P(X = 4) = e−4·44/4! = 0,1954
P(X = 5) = e−4·45/5! = 0,1563
P(X ≤ 5) = 0,01832 + 0,07326 + 0,1465 + 0,1954 + 0,1954 + 0,1563 = 0,7851
P(X ≥ 6) = 1 − 0,7851 = 0,2149

Media y varianza

μ = σ² = λ = 4
σ = √λ = 2

Fórmulas clave

Complementario
P(not A) = 1 − P(A)

Cómo calcular probabilidades de Poisson

  1. Halla λ, el número medio de sucesos en el intervalo al que se refiere la pregunta. Si la tasa es de 3 por hora y la pregunta trata de 2 horas, usa λ = 6.
  2. Para exactamente x sucesos usa P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!.
  3. Para «como máximo x», suma las probabilidades de 0 a x.
  4. Para «al menos x», usa el complemento P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1), porque la suma hasta infinito no se puede escribir.
  5. Comprueba tu respuesta con la media y la varianza: ambas son iguales a λ.

Preguntas y respuestas

¿Cuándo se aplica una distribución de Poisson?

Cuando los sucesos ocurren de uno en uno, de forma independiente y con una tasa media constante, y se cuenta cuántos caen en un intervalo fijo de tiempo, longitud, área o volumen.

¿Cuáles son la media y la varianza de una distribución de Poisson?

Ambas son iguales a λ, así que la desviación típica es √λ. Si la varianza de tus datos es mucho mayor que la media, es probable que los sucesos estén agrupados y el modelo de Poisson se ajuste mal.

¿Puede λ ser un decimal?

Sí. λ es un promedio, así que valores como 2,5 sucesos por hora son válidos. El número de sucesos x debe ser un entero.

¿Qué relación hay entre la distribución de Poisson y la binomial?

Para una binomial con muchos ensayos y una probabilidad de éxito pequeña, la distribución de Poisson con λ = np da casi las mismas probabilidades. Una regla práctica habitual es n ≥ 20 y p ≤ 0,05.

¿Por qué P(X ≥ 1) es igual a 1 − e^(−λ)?

La única forma de tener menos de un suceso es no tener ninguno, y P(X = 0) = e^(−λ). Así que P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ), que vale 0,8647 para λ = 2.

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