Calculadora de la distribución normal
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Resultado
Halla probabilidades de cualquier distribución normal N(μ, σ²): el área a la izquierda o a la derecha de un valor, entre dos valores o en ambas colas. Los modos inversos van del área al valor x, que es como se obtienen percentiles y notas de corte. Cada respuesta muestra las puntuaciones z y los valores de Φ utilizados, para que puedas compararlos con una tabla normal estándar.
Solución paso a paso
Tipificar
Áreas bajo la curva normal estándar
Fórmulas clave
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Cómo hallar una probabilidad de la distribución normal
- Anota la media μ y la desviación típica σ. Si te dan la varianza σ², calcula primero su raíz cuadrada.
- Tipifica cada valor con z = (x − μ)/σ. La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas está el valor por encima o por debajo de la media.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z bajo la curva normal estándar, en una tabla o con una calculadora.
- Combina las áreas: P(X < a) = Φ(z), P(X > a) = 1 − Φ(z) y P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Para ir de un área al valor, halla la z con Φ(z) igual al área de la cola izquierda y luego conviértela de nuevo con x = μ + z·σ.
Preguntas y respuestas
¿Qué diferencia hay entre P(X < a) y P(X ≤ a)?
En una distribución continua como la normal no hay ninguna. La probabilidad de un valor exacto es cero, así que P(X < a) = P(X ≤ a). Esto es distinto en las distribuciones discretas, como la binomial y la de Poisson.
¿Cómo hallo un percentil de una distribución normal?
Usa el modo inverso con un área de cola izquierda. El percentil 90 es el valor x con P(X < x) = 0,90: z = Φ⁻¹(0,90) = 1,2816, así que x = μ + 1,2816σ. Para una nota de corte del 10 % superior, usa el área de cola derecha 0,10, que da el mismo valor.
¿Qué dice la regla 68–95–99,7?
Alrededor del 68 % de una distribución normal está a menos de una desviación típica de la media, alrededor del 95 % a menos de dos (con más precisión, 1,96σ) y alrededor del 99,7 % a menos de tres. Es una forma rápida de comprobar si una respuesta está en el rango correcto.
¿Por qué mi tabla z da una respuesta ligeramente distinta?
Una tabla impresa redondea z a dos decimales y Φ(z) a cuatro. La calculadora evalúa Φ numéricamente, con mucha más precisión que una tabla z impresa, también muy lejos en las colas, y muestra el resultado con 4 cifras significativas, así que las respuestas de tabla pueden diferir en la última cifra.
¿Cuándo puedo usar la distribución normal en un problema binomial?
Cuando np y n(1 − p) son ambos al menos de 10 aproximadamente, una distribución binomial se parece a una normal con μ = np y σ = √(np(1 − p)). Suma o resta 0,5 en el límite (corrección por continuidad). Para una respuesta exacta, usa la calculadora de la distribución binomial.
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