Matrices y determinantes: problemas de práctica con soluciones paso a paso

1Matrices y el determinante 2×2

Una matriz es una tabla de números en filas y columnas. Una matriz con 2 filas y 3 columnas se llama matriz 2×3: primero las filas, luego las columnas.

Los ingenieros usan matrices para escribir muchas ecuaciones a la vez. El sistema 2x + y = 5 y x − y = 1 se guarda como la matriz [2 1; 1 −1] de sus coeficientes.

Una matriz cuadrada tiene un número especial, su determinante, que se escribe det A. Para una matriz 2×2 es el producto de una diagonal menos el producto de la otra.

Para [3 1; 2 4] el determinante es 3·4 − 1·2 = 10.

Si det A = 0, la matriz no tiene inversa y el sistema de ecuaciones no tiene una única solución.

2Determinantes 3×3 y productos

En una matriz 3×3, desarrolla por la primera fila. Cada elemento se multiplica por su menor: el determinante 2×2 que queda al tachar la fila y la columna de ese elemento.

Los signos van + − + a lo largo de la primera fila. Este patrón de signos es lo más fácil de olvidar.

Un producto de matrices AB se construye con las filas de A y las columnas de B. El elemento de la fila i, columna j es la fila i de A por la columna j de B: multiplica por parejas y suma.

El producto solo existe cuando A tiene tantas columnas como filas tiene B. En general AB no es lo mismo que BA.

3Valores propios y sistemas

Un valor propio λ de A es un número para el cual A·v = λ·v para algún vector v ≠ 0. La matriz solo estira ese vector, no lo gira.

Los valores propios se hallan con la ecuación característica. Aquí I es la matriz identidad [1 0; 0 1].

Para una matriz 2×2 esto se convierte en una ecuación cuadrática. Su coeficiente central es la traza a + d, y su término independiente es det A:

Para [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, así que (λ − 2)(λ − 5) = 0 y los valores propios son 2 y 5.

La regla de Cramer resuelve un sistema con determinantes. Sustituye la columna i de A por el lado derecho para obtener A_i, y entonces x_i = det A_i / det A.

Para 2x + y = 5 y x − y = 1: det A = −3 y det A_x = 5·(−1) − 1·1 = −6, así que x = −6/−3 = 2.

4El método paso a paso

1. Copia la matriz con cuidado, con todos los signos menos.
2. Determinante 2×2: ad − bc.
3. Determinante 3×3: para cada elemento de la primera fila, tacha su fila y su columna y calcula el menor 2×2.
4. Combina con los signos + − +: a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃.
5. Valores propios: escribe λ² − (a + d)λ + det A = 0 y resuelve la ecuación cuadrática.
6. Comprobación: una fila de ceros, o dos filas iguales, da siempre det A = 0.

Consejo: desarrolla por una fila o columna con muchos ceros. Cada elemento nulo te ahorra un menor.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

6Errores frecuentes

• Olvidar el signo menos del término central en el desarrollo 3×3.
• Calcular bc − ad en lugar de ad − bc.
• Perder un signo menos cuando un elemento es negativo: −2 · −3 es +6.
• Multiplicar matrices elemento a elemento en lugar de fila por columna.
• Tomar la traza o un elemento de la diagonal como valor propio en lugar de resolver la ecuación característica.

7Cómo son las preguntas de examen

• Fácil: el determinante de una matriz 2×2, a menudo con elementos negativos. Usa ad − bc.
• Medio: un determinante 3×3 o un producto de matrices. Desarrolla por la primera fila con + − +.
• Difícil: valores propios de una matriz 2×2, o una incógnita de un sistema 2×2 con la regla de Cramer.

Una comprobación rápida de los valores propios: deben sumar la traza a + d y multiplicar det A.