Métodos numéricos: problemas de práctica y preguntas de examen

Calcular respuestas que no tienen fórmula: raíces de ecuaciones con bisección y Newton–Raphson, interpolación en tablas, integración numérica con las reglas del trapecio y de Simpson, y ecuaciones diferenciales con Euler, Heun y Runge–Kutta. Los exámenes piden unas cuantas iteraciones en una tabla y el tamaño del error.

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Pack de repaso (PDF)Hojas de fórmulas, pasos de los métodos y problemas de práctica con soluciones completas, listos para imprimir.

Temas de esta asignatura

  1. Métodos numéricosraíces e interpolación · reglas del trapecio y de Simpson · Euler, Heun y Runge–Kuttacálculos
  2. Sucesiones y seriesseries aritméticas y geométricas · convergencia y series de potencias · polinomios de Taylor y de Maclaurincálculos
  3. Matrices y determinantesdeterminante 2×2 · 3×3 y productos · valores propios y sistemascálculos
  4. Ecuaciones diferencialescrecimiento y decrecimiento exponencial · Ley de enfriamiento de Newton · lineales de primer ordencálculos

Consejos para el examen de Métodos numéricos

  • Conserva al menos seis cifras significativas en cada iteración y redondea solo la respuesta final.
  • Escribe los pesos de la regla de integración bajo la tabla de valores antes de sumar nada.
  • Usa los polinomios de Taylor para explicar el error: el error de Euler es proporcional a h y el de Simpson a h⁴.

Ejemplos resueltos

Métodos numéricosFácil

El método de bisección empieza con un intervalo de longitud 4. Cada paso reduce el intervalo a la mitad. ¿Cuántos pasos n se necesitan como mínimo para que el intervalo sea más corto que 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Calcula n

Mostrar pistas
  1. Tras n pasos el intervalo tiene longitud (b − a)/2ⁿ.
  2. Resuelve 4/2ⁿ < 0,0001, es decir, 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Búsqueda de raíces e interpolación: la bisección mantiene un intervalo [a, b] en el que f cambia de signo; en cada paso toma el punto medio c = (a + b)/2 y conserva la mitad en la que el signo sigue cambiando, de modo que tras n pasos el intervalo mide (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson sigue la recta tangente hasta el eje: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); cerca de una raíz simple duplica aproximadamente el número de cifras correctas en cada paso. Interpolación lineal entre dos puntos de una tabla: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Condición

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logaritmo

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Comprobación

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Respuesta

n = 16
Sucesiones y seriesMedia
kSn​12345678910S = ?

Halla la suma S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calcula S

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  1. Fracciones simples: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Escribe los primeros términos: la mayoría se cancelan (una suma telescópica).
  3. Lo que queda es (12/3)·(1 + … + 1/3).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Fracciones parciales

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Cancelar

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Respuesta

S = 7,333

Cómo funciona la práctica

  • «Practicar esta asignatura» mezcla problemas de todos sus temas, como en un examen real.
  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Los simulacros de examen son cronometrados y no tienen pistas; al final recibes tu nota y una revisión completa.

Calculadoras para esta asignatura

Calculadora de determinante e inversa de una matrizCalculadora de valores y vectores propiosCalculadora de periodo de semidesintegración y decaimiento exponencialResolución de sistemas de ecuaciones lineales (2×2 y 3×3)

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