Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (2×2 y 3×3)
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Resultado
Resuelve un sistema de dos o tres ecuaciones lineales. Escribe las ecuaciones como lo harías a mano, por ejemplo 2x + y − z = 8, o introduce la matriz ampliada. La calculadora muestra cada operación entre filas de la eliminación de Gauss-Jordan, o los determinantes de la regla de Cramer, trabaja con fracciones exactas y reconoce los sistemas sin solución o con infinitas soluciones, que escribe con un parámetro.
Solución paso a paso
El sistema
Matriz ampliada
Pilar 1 (x): pivote en la fila 1
Pilar 2 (y): pivote en la fila 2
Pilar 3 (z): pivote en la fila 3
Lee la solución
Comprueba en las ecuaciones originales
Fórmulas clave
- determinante 2×2
- det = ad − bc
- Inversa de 2×2
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Regla de Cramer
- xi = det(Ai)/det(A)
Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación
- Escribe el sistema como una matriz ampliada: una fila por ecuación, los coeficientes de x, y y z, y el término independiente después de la barra.
- Elige un pivote en la primera columna (una entrada distinta de cero, idealmente 1) y, si hace falta, llévalo a la primera fila intercambiando filas.
- Divide la fila del pivote entre el pivote y luego resta múltiplos de ella a las demás filas para hacer cero el resto de la columna.
- Repite con la siguiente columna y la siguiente fila hasta que la parte de coeficientes quede en forma escalonada reducida por filas.
- Lee la solución. Una fila 0 = c con c ≠ 0 significa que no hay solución; una columna sin pivote significa una variable libre e infinitas soluciones.
- Comprueba sustituyendo la solución en las ecuaciones originales.
Preguntas y respuestas
¿Cuándo debo usar la regla de Cramer?
En sistemas pequeños con determinante distinto de cero, sobre todo 2×2. Cada incógnita es un cociente de determinantes: x = Dx/D. En sistemas mayores, o cuando D = 0, la eliminación es más rápida y además te dice si no hay solución o si hay infinitas.
¿Cómo sé si un sistema no tiene solución?
Cuando la eliminación produce una fila con todos los coeficientes cero pero un término independiente distinto de cero, como 0 = 3. Geométricamente, las rectas o los planos no tienen ningún punto en común, por ejemplo dos rectas paralelas.
¿Qué significa tener infinitas soluciones?
Una ecuación es combinación de las demás, así que hay menos ecuaciones independientes que incógnitas. Las soluciones forman una recta o un plano, escritos con un parámetro t: por ejemplo x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
¿Cómo introduzco las ecuaciones?
Separa las ecuaciones con punto y coma y escribe el coeficiente antes de cada variable: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Se admiten fracciones como 1/2x y decimales, y una variable puede aparecer en ambos miembros.
¿Qué es el rango?
El número de pivotes tras la eliminación, que es el número de ecuaciones independientes. Un sistema cuadrado tiene solución única exactamente cuando el rango es igual al número de incógnitas, es decir, cuando el determinante es distinto de cero.
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