Métodos numéricos: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: método de Newton-Raphson · regla de Simpson · método de Euler
Problemas gratis de Métodos numéricos con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: raíces e interpolación, reglas del trapecio y de Simpson, Euler, Heun y Runge–Kutta.
Problema de práctica gratisFácil
Aplica Newton–Raphson a f(x) = e−x − x con el valor inicial x₀ = 0. Halla x2.
Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Errores frecuentes
Quedarse con la mitad equivocada del intervalo de bisección, o contar mal los pasos.
Escribir x − f′/f en lugar de x − f/f′ en Newton–Raphson.
Dar peso 1 a los nodos interiores en la regla del trapecio, o usar Simpson con un número impar de franjas.
Redondear las iteraciones demasiado pronto.
Dar un paso de Euler de menos o de más para llegar al tiempo final.
Fórmulas clave
Bisección
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Muchas ecuaciones e integrales no tienen una fórmula para su resultado: x = cos x, ∫e−x²dx, o la mayoría de las ecuaciones diferenciales. Los métodos numéricos calculan el resultado paso a paso con la precisión que necesites.
El método de bisección halla una raíz de f(x) = 0 en un intervalo [a, b] donde f cambia de signo. Toma el punto medio c = (a + b)/2 y conserva la mitad en la que el signo sigue cambiando.
Ejemplo: f(x) = x² − 2 en [1, 2]. c₁ = 1,5 da f = 0,25 > 0, así que se conserva [1, 1,5]. c₂ = 1,25 da f = −0,4375 < 0, así que se conserva [1,25, 1,5]. Luego c₃ = 1,375.
Cada paso reduce el intervalo a la mitad, así que tras n pasos su anchura es (b − a)/2ⁿ. La bisección es lenta, pero siempre funciona una vez que tienes un cambio de signo.
Autoevaluación La bisección empieza en un intervalo de longitud 1. ¿Cuánto mide el intervalo tras 10 pasos?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Respuesta: 1/1024. Cada paso lo reduce a la mitad: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Dividir entre 10 o entre 20 trata la reducción a la mitad como si fuera aditiva.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson sigue la recta tangente hasta el eje x y usa ese punto de corte como siguiente estimación:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Para f(x) = x² − 2 con f′(x) = 2x y x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1,5, x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667, x₃ = 1,414216. La raíz es √2 = 1,414214.
Cerca de la raíz, Newton duplica aproximadamente el número de cifras correctas en cada paso. Puede fallar cuando f′(xₙ) es cercana a 0, o cuando el punto de partida está lejos de la raíz.
Conserva al menos seis cifras en cada iteración; redondear pronto impide que el método mejore.
Autoevaluación Un paso de Newton para f(x) = x² − 5 desde x₀ = 2 da…
1,75
2,25
2,2
2,5
Respuesta: 2,25. f(2) = −1 y f′(2) = 4, así que x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Sumar −1/4 en lugar de restarlo da 1,75.
3Interpolación lineal
Las tablas dan valores solo en ciertos puntos. La interpolación lineal traza una recta entre los dos puntos vecinos de la tabla:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Ejemplo: la tabla da f(1) = 2,0 y f(2) = 2,6. En x = 1,4 la fracción es 0,4, así que f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
La interpolación inversa funciona igual, al revés: para hallar dónde y = 2,3, la fracción es (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, así que x ≈ 1,5.
4Regla del trapecio y regla de Simpson
Para integrar f de a a b, divide el intervalo en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀, x₁, …, xₙ.
La regla del trapecio sustituye la curva de cada franja por una recta. Cada nodo interior pertenece a dos franjas, así que cuenta dos veces:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
La regla de Simpson ajusta parábolas por tres nodos cada vez. Necesita un n par:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Para ∫01 x² dx = 1/3 con n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, mientras que S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, exacto.
El error del trapecio disminuye como h² y el de Simpson como h⁴: reducir h a la mitad hace a Simpson unas 16 veces más preciso.
Autoevaluación ¿Qué pesos da la regla del trapecio a los nodos x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Respuesta: 1, 2, 2, 1. Los dos extremos pertenecen a una sola franja y los puntos interiores a dos, así que 1, 2, 2, 1 con el factor h/2. Los 4 pertenecen a la regla de Simpson.
5Euler y Heun para ecuaciones diferenciales
Para y′ = f(t, y) con y(t₀) = y₀, avanza en el tiempo con un paso h. El método de Euler usa la pendiente al inicio de cada paso:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
El método de Heun (Euler mejorado) predice con Euler y luego promedia las pendientes en ambos extremos: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
El error de Euler es proporcional a h y el de Heun a h². El método clásico de Runge–Kutta (RK4) usa cuatro pendientes y tiene una precisión de orden h⁴.
Ejemplo resuelto
Resuelve y′ = y, y(0) = 1 con el método de Euler y h = 0,1 hasta t = 0,3, y compáralo con la solución exacta eᵗ.
1
Paso 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Paso 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Paso 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Compara
El valor exacto es e0,3 = 1,349859, así que el error global es 0,0189. Un paso de Heun desde y₀ daría 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 frente a e0,1 = 1,105171.
Respuesta
y(0,3) ≈ 1,331 con Euler; el error 0,019 disminuye aproximadamente en proporción a h.
6Errores comunes y preguntas de examen
Contar el primer punto medio de la bisección como paso 0, o quedarse con la mitad equivocada del intervalo.
Escribir x − f′/f en lugar de x − f/f′ en el método de Newton.
Olvidar el factor 2 en los nodos interiores, o usar h en lugar de h/2 en la regla del trapecio.
Usar la regla de Simpson con un número impar de franjas.
En el método de Euler, usar la pendiente al final del paso, o dar un paso de menos.
Fácil: bisección, iteraciones de Newton e interpolación en una tabla. Medio: las reglas del trapecio y de Simpson, su error y el número de franjas necesario. Difícil: pasos de Euler, Heun y Runge–Kutta para ecuaciones diferenciales.
Autoevaluación y′ = 2y con y(0) = 1. ¿Qué da un paso de Euler con h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Respuesta: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Olvidar el factor 2 de la pendiente da 1,2; 1,49 es el valor exacto e0,4.
El método de bisección empieza con un intervalo de longitud 4. Cada paso reduce el intervalo a la mitad. ¿Cuántos pasos n se necesitan como mínimo para que el intervalo sea más corto que 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Calcula n
Mostrar pistas
Tras n pasos el intervalo tiene longitud (b − a)/2ⁿ.
Resuelve 4/2ⁿ < 0,0001, es decir, 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Búsqueda de raíces e interpolación: la bisección mantiene un intervalo [a, b] en el que f cambia de signo; en cada paso toma el punto medio c = (a + b)/2 y conserva la mitad en la que el signo sigue cambiando, de modo que tras n pasos el intervalo mide (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson sigue la recta tangente hasta el eje: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); cerca de una raíz simple duplica aproximadamente el número de cifras correctas en cada paso. Interpolación lineal entre dos puntos de una tabla: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Condición
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logaritmo
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Comprobación
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Respuesta
n = 16
Ejemplo 2Media
Aproxima ∫01,5 √(1 + x³) dx con la regla del trapecio usando n = 3 franjas. Da T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Calcula T
Mostrar pistas
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; los nodos son 0, 0,5, 1, 1,5.
Pesos: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
La suma ponderada es Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.
Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.
Muchas ecuaciones e integrales no tienen una fórmula para su resultado: x = cos x, ∫e−x²dx, o la mayoría de las ecuaciones diferenciales. Los métodos numéricos calculan el resultado paso a paso con la precisión que necesites.
El método de bisección halla una raíz de f(x) = 0 en un intervalo [a, b] donde f cambia de signo. Toma el punto medio c = (a + b)/2 y conserva la mitad en la que el signo sigue cambiando.
Métodos numéricos: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Métodos numéricos: ¿cuáles son los errores más comunes?
Quedarse con la mitad equivocada del intervalo de bisección, o contar mal los pasos.
Escribir x − f′/f en lugar de x − f/f′ en Newton–Raphson.
Dar peso 1 a los nodos interiores en la regla del trapecio, o usar Simpson con un número impar de franjas.
Redondear las iteraciones demasiado pronto.
Dar un paso de Euler de menos o de más para llegar al tiempo final.
Métodos numéricos: ¿qué se practica?
Fácil: raíces e interpolación
Media: reglas del trapecio y de Simpson
Difícil: Euler, Heun y Runge–Kutta
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
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