Números complejos: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: forma polar · fórmula de De Moivre
Problemas gratis de Números complejos con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: aritmética en forma rectangular, forma polar y exponencial, De Moivre, raíces y ecuaciones.
Problema de práctica gratisFácil
Para z₁ = 1 + j4 y z₂ = 5 + j6, halla la parte imaginaria de w = 2z₁ + 5z̄₂.
La ecuación x² = −1 no tiene solución real. Los ingenieros añaden un número nuevo j con j² = −1. Los matemáticos escriben i; en ingeniería se usa j porque i ya significa corriente.
Un número complejo tiene la forma z = a + jb. El número a es la parte real y b es la parte imaginaria: Re(z) = a e Im(z) = b.
Puedes dibujar z como el punto (a, b) en el diagrama de Argand: la parte real a lo largo del eje horizontal y la parte imaginaria a lo largo del vertical.
La distancia al origen es el módulo |z| = √(a² + b²). El ángulo desde el eje real positivo es el argumento θ. La imagen especular respecto del eje real, z̄ = a − jb, es el conjugado.
Autoevaluación ¿Cuál es el módulo de z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Respuesta: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Sumar 3 y 4 da 7, y olvidar la raíz cuadrada da 25.
2Sumar, multiplicar y dividir
Suma y resta por partes: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Multiplica desarrollando los paréntesis y sustituye j² por −1:
Respuesta: 2. Es un número por su conjugado: 1² + 1² = 2. Escribir 1 − j² como 1 − 1 = 0 olvida que j² = −1, así que −j² = +1.
3Forma polar y exponencial
Un punto también se puede dar por su distancia y su ángulo: z = r∠θ, con r = |z| y θ = arg z. Para volver a la forma rectangular, a = r cos θ y b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
La última forma usa la fórmula de Euler ejθ = cos θ + j sin θ. En la forma exponencial θ debe estar en radianes.
Cuidado con el cuadrante. Una calculadora da atan(b/a) entre −90° y 90°. Si a < 0, el punto está a la izquierda, así que suma o resta 180°.
Ejemplo: z = −2 + j2. Entonces r = √8 = 2,828. El ángulo de referencia es atan(2/2) = 45° y el punto está en el segundo cuadrante, así que θ = 180° − 45° = 135°.
Autoevaluación ¿Cuál es el argumento de z = −1 − j, entre −180° y 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Respuesta: −135°. El punto está en el tercer cuadrante. El ángulo de referencia es 45°, así que θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° apunta al cuadrante opuesto.
4Multiplicación en forma polar, potencias y raíces
En forma polar multiplicar es fácil: multiplica los módulos y suma los argumentos. Para dividir, divide los módulos y resta los argumentos.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Repetir esto da el teorema de De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
La ecuación zⁿ = R∠φ tiene exactamente n raíces. Todas tienen el módulo R1/n y los argumentos (φ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1.
Para z³ = 8 = 8∠0°: el módulo es 2 y los argumentos son 0°, 120° y 240° (es decir, −120°). Las raíces forman un triángulo regular en la circunferencia.
Una ecuación cuadrática z² + pz + q = 0 con p² < 4q tiene las raíces complejas −p/2 ± j√(q − p²/4). Los polinomios reales siempre tienen sus raíces complejas en pares conjugados.
5Un ejemplo resuelto
Las potencias de números como 1 + j son mucho más rápidas en forma polar que desarrollando los productos.
Ejemplo resuelto
Calcula (1 + j)6 con el teorema de De Moivre.
1
Escribe 1 + j en forma polar
r = √(1² + 1²) = √2. El punto está en el primer cuadrante, así que θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Aplica De Moivre
Eleva el módulo a la potencia 6 y multiplica el ángulo por 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Lleva el ángulo al intervalo adecuado
270° es la misma dirección que −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Vuelve a la forma rectangular
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Respuesta
(1 + j)6 = −j8: parte real 0, parte imaginaria −8.
6Errores comunes y preguntas de examen
Olvidar que j² = −1 al desarrollar los productos, de modo que un término acaba con el signo equivocado.
Dividir por partes: (a + jb)/(c + jd) no es a/c + jb/d. Usa el conjugado.
Tomar atan(b/a) como argumento cuando a < 0. Dibuja primero el punto.
Usar grados en ejθ, o dejar la calculadora en radianes cuando r∠θ se da en grados.
En De Moivre: olvidar elevar el módulo a la potencia, o dar solo una raíz de zⁿ = w.
Las preguntas fáciles piden una parte de un producto, un cociente o una suma. Las medias convierten entre las formas rectangular, polar y exponencial. Las difíciles usan De Moivre, las raíces n-ésimas y ecuaciones polinómicas.
Autoevaluación z₁ = 2∠30° y z₂ = 4∠50°. ¿Cuánto es z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Respuesta: 8∠80°. Multiplica los módulos (2·4 = 8) y suma los argumentos (30° + 50° = 80°). Sumar los módulos da 6, y multiplicar los ángulos no tiene sentido.
Para z₁ = −7 + j y z₂ = 4 + j2, halla la parte real del producto z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Calcula Re(z₁z₂)
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Desarrolla los paréntesis como (a + b)(c + d), lo que da cuatro términos.
Sustituye j² por −1 para que uno de los cuatro términos pase a ser real.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Números complejos: z = a + jb tiene parte real a y parte imaginaria b, con j² = −1 (los matemáticos escriben i). Suma y resta por partes; multiplica desarrollando los paréntesis y sustituye j² por −1; divide multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, z̄ = a − jb, porque z·z̄ = a² + b² es real. En el diagrama de Argand z es el punto (a, b): su distancia al origen es el módulo |z| = √(a² + b²), y el ángulo desde el eje real positivo es el argumento θ.
Escribe z = 4∠160° en forma rectangular a + jb y da la parte imaginaria b.
r = 4θ = 160°
Calcula b
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a = r·cos θ y b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Multiplica por r = 4.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Forma polar: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, con r = |z| y θ = arg z. Para volver a la forma rectangular: a = r cos θ, b = r sin θ. El argumento necesita el cuadrante: θ = atan(b/a) solo cuando a > 0; para a < 0 suma o resta 180°. En forma polar multiplicar es fácil: se multiplican los módulos y se suman los argumentos; para dividir se dividen los módulos y se restan los argumentos.
Componentes
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Forma rectangular
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Respuesta
b = 1,368
Ejemplo 3Difícil
Las raíces de zⁿ = w con n = 4 y w = 16∠−60° son zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Halla la parte real de z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Calcula Re(z₂)
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Cada raíz tiene el módulo R1/n = 161/4 = 2.
El argumento de z₂ es (φ + 360°·k)/n con φ = −60°, k = 2 y n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
De Moivre y raíces: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. La ecuación zⁿ = R∠φ tiene exactamente n raíces, todas con módulo R1/n, en los argumentos (φ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1: están repartidas uniformemente en una circunferencia, separadas 360°/n. Una ecuación cuadrática z² + pz + q = 0 con p² < 4q tiene las raíces complejas z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio con coeficientes reales siempre tiene sus raíces complejas en pares conjugados a ± jb.
Módulo de las raíces
161/4 = 2
Argumento de la raíz
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Forma rectangular
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Respuesta
Re(z₂) = −1,932
Las 4 raíces están en la circunferencia de radio 2, separadas 90°.
Preguntas y respuestas
Números complejos: ¿qué es?
La ecuación x² = −1 no tiene solución real. Los ingenieros añaden un número nuevo j con j² = −1. Los matemáticos escriben i; en ingeniería se usa j porque i ya significa corriente.
Un número complejo tiene la forma z = a + jb. El número a es la parte real y b es la parte imaginaria: Re(z) = a e Im(z) = b.
Números complejos: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Decide qué forma conviene a la operación: la rectangular a + jb para sumar y restar, la polar r∠θ para multiplicar, dividir, potencias y raíces.
Desarrolla con j² = −1; divide multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Convierte con r = √(a² + b²) y θ a partir de un dibujo del punto (comprueba el cuadrante), y de vuelta con a = r cos θ, b = r sin θ.
Para las potencias usa De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; para zⁿ = R∠φ enumera las n raíces R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Números complejos: ¿cuáles son los errores más comunes?
Tratar j² como +1 al desarrollar los productos.
Dividir por separado las partes real e imaginaria.
Tomar atan(b/a) como argumento para un punto del semiplano izquierdo.
Mezclar grados y radianes, sobre todo en ejθ.
Dar solo una raíz de zⁿ = w, u olvidar tomar la raíz n-ésima del módulo.
Números complejos: ¿qué se practica?
Fácil: aritmética en forma rectangular
Media: forma polar y exponencial
Difícil: De Moivre, raíces y ecuaciones
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.