Resolución de ecuaciones de segundo grado (ax² + bx + c = 0)
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Resultado
Resuelve cualquier ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0. La calculadora halla el discriminante, aplica la fórmula cuadrática y da las raíces tanto en decimales como en forma exacta, como fracciones o raíces cuadradas simplificadas del tipo 2 ± √3, incluidas las raíces complejas. También halla el vértice, el eje de simetría y la forma factorizada, y comprueba las raíces con las fórmulas de Vieta.
Solución paso a paso
Identifica a, b y c
Discriminante
Fórmula cuadrática
Vértice y eje de simetría
Forma factorizada
Comprueba con las fórmulas de Vieta
Fórmulas clave
- Ecuación cuadrática con p² < 4q
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
Cómo resolver una ecuación de segundo grado
- Escribe la ecuación en la forma estándar ax² + bx + c = 0 y anota a, b y c, con sus signos.
- Calcula el discriminante Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 hay dos raíces reales, si Δ = 0 una raíz doble, y si Δ < 0 dos raíces complejas conjugadas.
- Usa la fórmula cuadrática x = (−b ± √Δ)/(2a). Simplifica la raíz cuadrada sacando los factores cuadrados: √12 = 2√3.
- Para Δ < 0 escribe √Δ = i·√|Δ|, de modo que las raíces son −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
- El vértice de la parábola y = ax² + bx + c está en x = −b/(2a); sustitúyelo para hallar la coordenada y.
- Comprobación: las raíces suman −b/a y su producto es c/a.
Preguntas y respuestas
¿Cuándo puedo factorizar en lugar de usar la fórmula?
Cuando el discriminante es un cuadrado perfecto y los coeficientes son enteros, las raíces son racionales y el polinomio de segundo grado se factoriza sobre los enteros, como 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). En los demás casos, la fórmula cuadrática es el método fiable.
¿Qué significa un discriminante negativo?
La parábola no corta el eje x, por lo que no hay raíces reales. Las dos raíces son complejas conjugadas p ± qi, que importan, por ejemplo, en las vibraciones amortiguadas y en el análisis de circuitos.
¿Qué es la forma vértice?
y = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice. Muestra directamente el mínimo (a > 0) o el máximo (a < 0) de la parábola y se obtiene completando el cuadrado.
¿Y si a = 0?
Entonces la ecuación es lineal, bx + c = 0, con la única solución x = −c/b. La fórmula cuadrática dividiría entre cero, por lo que la calculadora pide un valor de a distinto de cero.
¿Por qué la calculadora da raíces exactas?
En los exámenes suelen pedirse respuestas como (3 ± √17)/4 y no decimales. Cuando a, b y c son números enteros o decimales, la calculadora trabaja con fracciones exactas y simplifica la raíz cuadrada.
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