Ecuaciones diferenciales: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: ecuaciones diferenciales ordinarias · EDO
Problemas gratis de Ecuaciones diferenciales con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: crecimiento y decrecimiento exponencial, Ley de enfriamiento de Newton, lineales de primer orden.
Aprende Ecuaciones diferenciales desde cero
Antes de esto: Derivadas, Integrales
1Qué es una ecuación diferencial
Una ecuación diferencial relaciona una magnitud con su propia tasa de cambio. Describe cómo cambia algo, no qué es.
Las bacterias se dividen, así que una colonia mayor crece más rápido. La tasa de crecimiento es proporcional al número de células N:
dN/dt = k · N
Aquí dN/dt es la derivada de N respecto al tiempo t, y k es la constante de velocidad. Con k = 0,4 h⁻¹ y N = 1000 células, la colonia crece 400 células por hora en ese instante.
Resolver la ecuación significa hallar la propia función N(t). También necesitas un valor inicial, como N(0) = 200. Se llama condición inicial.
Autoevaluación Una población sigue dN/dt = 0,2 · N. En este momento N = 500. ¿Con qué rapidez crece?
- 0,2 por hora
- 100 por hora
- 2500 por hora
- 500 por hora
Respuesta: 100 por hora. Sustituye los números en la ecuación: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Dividir 500 entre 0,2 da 2500, que usa k al revés.
2Crecimiento y decaimiento exponencial
La ecuación dy/dt = k·y siempre tiene la misma solución, una función exponencial:
y(t) = y0 · ekt
Aquí y0 es el valor en t = 0. Una k positiva significa crecimiento. Para el decaimiento la ecuación es dy/dt = −k·y y la solución es y = y0e−kt.
La desintegración radiactiva suele darse mediante su periodo de semidesintegración t½: el tiempo tras el cual queda la mitad de la sustancia. La constante se obtiene a partir de él:
k = ln 2 / t½
Para hallar un tiempo, toma el logaritmo natural en ambos lados:
t = ln(y / y0) / k
Por ejemplo, 200 células que crecen con k = 0,4 h⁻¹ llegan a 1000 células tras t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.
Autoevaluación Una sustancia tiene un periodo de semidesintegración de 10 días. Empiezas con 80 mg. ¿Cuánto queda tras 20 días?
- 0 mg
- 20 mg
- 40 mg
- 60 mg
Respuesta: 20 mg. 20 días son dos periodos de semidesintegración: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg viene de pensar que dos mitades hacen el total; la cantidad se reduce a la mitad cada vez.
3Enfriamiento y ecuaciones lineales
Ley de enfriamiento de Newton: un objeto caliente se enfría más rápido cuando está mucho más caliente que la habitación. Con la temperatura ambiente Ta:
dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt
La diferencia T − Ta decae exponencialmente, así que la temperatura se acerca a la temperatura ambiente y nunca baja de ella.
Para hallar k a partir de una medición, sustituye los valores conocidos y toma ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.
Una ecuación lineal de primer orden tiene la forma y′ + p(x)·y = q(x). Multiplícala por el factor integrante μ:
μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q
Después integra ambos lados y divide entre μ. Para p = 2/x, μ = e2 ln x = x².
Autoevaluación Un té a 90 °C se deja en una habitación a 20 °C. ¿A qué temperatura se acerca tras mucho tiempo?
- 0 °C
- 20 °C
- 55 °C
- 90 °C
Respuesta: 20 °C. El término (T0 − Ta)e−kt tiende a 0, así que T se acerca a Ta = 20 °C. 0 °C sería la respuesta si olvidaras la temperatura ambiente.
4El método paso a paso
- Reconoce el tipo: dy/dt = ky (crecimiento o decaimiento), enfriamiento de Newton, o y′ + p(x)y = q(x).
- Escribe la solución estándar de ese tipo.
- Usa los datos para hallar las constantes: y0 a partir del inicio, k a partir de un periodo de semidesintegración o de una segunda medición.
- Responde a la pregunta: sustituye un tiempo para hallar un valor, o usa ln para hallar un tiempo.
- Comprueba las unidades de k (h⁻¹, min⁻¹) con las unidades de t.
Para una ecuación lineal: halla μ, integra (μy)′ = μq, añade la constante C y usa la condición inicial para hallar C.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resueltoUn trazador radiactivo tiene un periodo de semidesintegración de 8 días. Una muestra contiene 60 mg al principio. La desintegración sigue dm/dt = −k·m. ¿Cuánta masa m queda tras 12 días?
1Es un decaimiento exponencial, así que la solución es:
m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 día⁻¹
3k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
412 días son 1,5 periodos de semidesintegración. Tras 8 días quedan 30 mg y tras 16 días 15 mg, así que 21,2 mg está entre ambos, como se esperaba.
60 · 0,51,5 = 21,21 mg
Respuesta Tras 12 días quedan m ≈ 21,2 mg.
6Errores frecuentes
- En la ley de enfriamiento de Newton, olvidar restar y volver a sumar la temperatura ambiente Ta.
- Usar un exponente positivo para el decaimiento, de modo que la cantidad crece en lugar de disminuir.
- Usar log10 en lugar del logaritmo natural ln.
- Mezclar unidades de tiempo, como k en min⁻¹ con t en horas.
- Con un factor integrante, multiplicar solo el lado izquierdo por μ.
Autoevaluación Una pieza a 80 °C se enfría en una habitación a 20 °C. En cierto instante t, e−kt = 0,5. ¿Cuál es entonces su temperatura?
- 30 °C
- 40 °C
- 50 °C
- 60 °C
Respuesta: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Reducir 80 a la mitad directamente da 40 °C, lo que olvida la temperatura ambiente.
7Cómo son las preguntas de examen
- Fácil: crecimiento y decaimiento exponencial. Halla la cantidad tras un tiempo, o el tiempo para alcanzar una cantidad, a menudo a partir de un periodo de semidesintegración.
- Medio: ley de enfriamiento de Newton. Usa una medición para hallar k y después halla una temperatura o un tiempo.
- Difícil: una ecuación lineal de primer orden como y′ + 2y/x = 3 con y(1) = 1. Usa el factor integrante y halla y en otro x.
Una comprobación rápida: las respuestas de decaimiento y enfriamiento deben estar entre el valor inicial y el valor final (0, o la temperatura ambiente).
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