Transformadas de Laplace: problemas de práctica con soluciones paso a paso

1Qué hace la transformada de Laplace

Los circuitos, los motores y los depósitos se describen con ecuaciones diferenciales: la salida depende de su propia velocidad de cambio. Resolverlas directamente es lento.

La transformada de Laplace convierte un problema así en álgebra. Cambias cada función del tiempo f(t) por una función F(s) de una nueva variable s.

Resuelves el problema con álgebra normal en s y luego traduces el resultado de vuelta al tiempo. Ese último paso es la transformada inversa.

Rara vez usas tú mismo esta integral. En la práctica buscas pares de transformadas en una tabla, como palabras en un diccionario entre dos idiomas.

La figura muestra tres señales comunes: una constante 1 (un escalón), una exponencial decreciente y una senoidal. Debajo de cada una está su transformada.

2La tabla de pares de transformadas

Aprende estos cinco pares. Junto con dos reglas cubren casi todos los problemas de examen.

• Linealidad: las constantes se quedan delante, y una suma se transforma término a término. Así, 3/(s + 2) ↔ 3·e^−2t.
• Desplazamiento: sustituir s por s + a multiplica la función del tiempo por e^−at. Así, (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e^−2t·cos 3t.

Cuidado con el par del seno: el numerador debe ser ω en sí. Para 12/(s² + 9) tienes ω = 3, así que escribe 12 = 4·3. El resultado es 4·sin 3t.

En sin ωt y cos ωt el ángulo ωt está en radianes. Pon la calculadora en radianes antes de evaluar.

3Valores inicial y final sin invertir

A veces solo necesitas saber dónde empieza f(t) o dónde termina. Dos teoremas dan esto directamente a partir de F(s).

• Valor inicial (s → ∞): para s muy grande solo cuenta la mayor potencia de s en el numerador y en el denominador.
• Valor final (s → 0): cancela el factor s y luego haz s = 0 en cada factor restante, incluidos los ceros.
• El teorema del valor final solo funciona si f(t) realmente se estabiliza: todos los polos de s·F(s) deben tener parte real negativa.

Valor final: para F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) obtienes s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). En s = 0 esto es 12/6 = 2, así que f(∞) = 2.

Valor inicial: para F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) obtienes s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Para s grande esto se comporta como 3s²/s², así que f(0⁺) = 3.

Para la pendiente inicial f′(0⁺), usa la transformada de la derivada, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Luego aplica el teorema del valor inicial:

Para la misma F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Multiplica por s y haz s → ∞. Las mayores potencias dan −5s²/s², así que f′(0⁺) = −5.

4Fracciones parciales, paso a paso

La mayoría de las F(s) no están en la tabla tal como son. Las descompones en fracciones simples que sí lo están. Esto se llama fracciones parciales.

Cada raíz del denominador es un polo. Un polo simple en s = −a da un término A/(s + a), que en el tiempo se convierte en A·e^−at.

La regla del tapado (cover-up) halla cada coeficiente. Para hallar A, tapa el factor (s + a) en F(s) y pon s = −a en todo lo que queda.

Ejemplo: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Entonces A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 y B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Así, f(t) = 2e^−t − e^−4t.

La posición de un polo te dice la forma. Un polo real en −3 da una caída pura e^−3t. Un par complejo −1 ± j2 da una oscilación amortiguada, e^−t por sin 2t o cos 2t.

• Polo repetido (s + a)²: escribe A/(s + a) + B/(s + a)². El segundo término da B·t·e^−at. Así, (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e^−t + 3t·e^−t.
• Polos complejos: completa el cuadrado, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². Entonces 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e^−2t·sin 2t.

1. Factoriza el denominador y enumera los polos. Para una cuadrática, halla sus raíces o completa el cuadrado.
2. Escribe una fracción por polo: A/s, B/(s + a) y así sucesivamente. Un polo repetido también recibe un término al cuadrado.
3. Halla cada coeficiente con la regla del tapado. Conserva los signos de los factores restantes.
4. Traduce cada término de vuelta al tiempo con la tabla.
5. Sustituye el tiempo t (radianes para seno y coseno). Comprueba f(0⁺) y f(∞) con los teoremas de valor.

5Un ejemplo resuelto

Esta es una pregunta media típica. Prueba cada paso tú mismo antes de abrirlo.

6Errores frecuentes

• Confundir los teoremas: s → ∞ da el valor inicial f(0⁺), y s → 0 da el valor final f(∞).
• Olvidar el factor s en s·F(s), o descartar un factor cero como (s + 2) al hacer s = 0.
• Errores de signo en la regla del tapado: en s = −3 el factor (s + 2) vale −1, no 5.
• Usar el par del seno sin dividir entre ω: ω/(s² + ω²) necesita ω en el numerador.
• Evaluar sin ωt o cos ωt con la calculadora en grados. El ángulo ωt está en radianes.
• Usar el teorema del valor final cuando f(t) nunca se estabiliza, por ejemplo F(s) = 1/(s² + 4), que es una senoidal pura.

7Cómo son las preguntas de examen

• Fácil: pares de la tabla y teoremas de valor. Inviertes una constante, una exponencial, t·e^−at, un seno o un coseno y lo evalúas, o halla f(0⁺), f(∞) o la pendiente inicial f′(0⁺).
• Medio: transformadas inversas por fracciones parciales. Hallas un coeficiente A, inviertes tres polos simples s(s + a)(s + b), un polo repetido, o polos complejos completando el cuadrado.
• Difícil: ecuaciones diferenciales y funciones de transferencia, por ejemplo y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) con valores iniciales dados. Hallas y en un instante dado.

Para el nivel difícil, transforma cada derivada junto con sus condiciones iniciales:

Luego resuelve la ecuación algebraica para Y(s) e invierte con fracciones parciales como en el ejemplo resuelto.