Diagramas de Bode y márgenes: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: diagrama de Bode · margen de fase · margen de ganancia
Problemas gratis de Diagramas de Bode y márgenes con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: filtros y asíntotas, módulo y fase, márgenes de estabilidad.
Problema de práctica gratisFácil
Halla la frecuencia de corte (−3 dB) fc del filtro paso alto RC mostrado, con R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Dala en Hz.
Introduce una onda senoidal en un filtro o amplificador y saldrá una senoidal de la misma frecuencia. Solo cambian dos cosas: su tamaño y su desfase temporal.
La ganancia |H| es la razón entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada. La fase φ es cuánto se desplaza la salida, en grados. Una fase negativa significa que la salida se retrasa.
Ambas dependen de la frecuencia. Un diagrama de Bode las dibuja frente a la frecuencia: la ganancia en decibelios arriba y la fase debajo. El eje de frecuencias es logarítmico, así que cada década (×10) tiene el mismo ancho.
Los decibelios convierten una razón en un número que se puede sumar:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
Una ganancia de 1 es 0 dB, 10 es 20 dB, 100 es 40 dB y 0,1 es −20 dB.
Una ganancia de 1/√2 ≈ 0,707 es −3 dB. Es el borde de la banda de paso de un filtro.
Autoevaluación Un amplificador tiene una ganancia de 100. ¿Cuál es su ganancia en decibelios?
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
Respuesta: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB usa 10·log₁₀, que es para razones de potencia, no de tensiones. 2 es solo log₁₀(100).
2Filtros de primer orden
Una resistencia con un condensador o una bobina forma el filtro más simple. Un filtro paso bajo deja pasar las frecuencias bajas y debilita las altas. Un filtro paso alto hace lo contrario.
En el filtro RC paso bajo (izquierda) la salida está en el condensador. En el filtro RC paso alto (derecha) está en la resistencia. Con una bobina, la salida de un filtro paso bajo está en R, y la de un paso alto en L.
El cambio ocurre alrededor de la frecuencia de corte, donde la ganancia es −3 dB. Es la misma para la versión paso bajo y paso alto:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc está en rad/s y fc en Hz. Pon antes R, C y L en unidades base: Ω, F y H.
La gráfica muestra un filtro paso bajo. Por debajo de ωc la ganancia es de unos 0 dB. Por encima, la ganancia cae 20 dB por década. La fase va de 0° a −90° y es −45° en la frecuencia de corte.
A cualquier frecuencia, con la razón x = f/fc = ω/ωc:
Paso bajo: |H| = 1/√(1 + x²) y φ = −atan x.
Paso alto: |H| = x/√(1 + x²) y φ = 90° − atan x.
Ejemplo resuelto
Halla la frecuencia de corte fc de un filtro RL paso alto con R = 470 Ω y L = 47 mH.
1
Unidades base
L = 47 mH = 0,047 H
2
Frecuencia de corte en rad/s
ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3
Frecuencia de corte en Hz
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Respuesta
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
Autoevaluación Un filtro RC paso bajo tiene R = 1 kΩ y C = 1 µF. ¿Cuál es su frecuencia de corte fc?
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
Respuesta: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, así que fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 es ωc en rad/s, no en Hz. 6283 multiplica por 2π, y 159 kHz olvida la k de kΩ.
3Diagramas de Bode asintóticos
Para una función de transferencia G(s) puedes esbozar el módulo con rectas. Cada factor cambia la pendiente en su propia frecuencia de corte.
Un factor polo (s + p) en el denominador dobla la recta hacia abajo 20 dB/década desde ω = p en adelante.
Un factor cero (s + z) en el numerador la dobla hacia arriba 20 dB/década desde ω = z en adelante.
Un factor s en el denominador (un integrador) da −20 dB/década a todas las frecuencias, y −90° de fase.
Sin integrador, la gráfica empieza plana en la ganancia en continua G(0), convertida a dB.
La figura muestra G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, así que la gráfica empieza en 20 dB. Se dobla a −20 dB/década en 10 rad/s y a −40 dB/década en 100 rad/s.
Para hallar la pendiente en una banda: empieza con −20 dB/década por cada integrador, luego suma −20 por cada frecuencia de corte de un polo y +20 por cada una de un cero por debajo de esa banda.
Autoevaluación G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). ¿Cuál es la pendiente de la gráfica asintótica entre 5 y 50 rad/s?
0 dB/década
−20 dB/década
−40 dB/década
−60 dB/década
Respuesta: −40 dB/década. El integrador da −20 desde el principio. El polo en 5 suma −20, así que la pendiente es −40 entre 5 y 50. El cero en 50 la devuelve a −20 por encima de 50. −60 trata el cero como un polo.
4Valores exactos a una frecuencia
Las rectas son un esbozo. Para un valor exacto, sustituye s = jω. Cada factor (jω + a) es un número complejo con:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
El módulo de G es el producto de los módulos del numerador dividido entre el producto de los módulos del denominador. La fase es la suma de los ángulos del numerador menos la suma de los ángulos del denominador.
Ejemplo: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) en ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 y |j4 + 4| = 5,657, así que |G| = 150/28,28 = 5,30, que son 14,5 dB.
La fase es −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.
Un circuito RLC serie con la salida en R es un filtro paso banda. Deja pasar las frecuencias cercanas a la frecuencia de resonancia ω₀ = 1/√(LC). El ancho de banda es BW = R/L en rad/s, y el factor de calidad Q = ω₀/BW.
Escribe G(s) o H(jω). Para un filtro RC o RL, halla primero ωc y la razón x = ω/ωc.
Para cada factor, halla su módulo √(ω² + a²) y su ángulo atan(ω/a).
Multiplica y divide los módulos. Suma los ángulos de los ceros y resta los de los polos; un integrador suma −90°.
Convierte el módulo a dB con 20·log₁₀.
Comprueba con el esbozo de rectas: el valor exacto debe quedar cerca, y 3 dB por debajo en una sola frecuencia de corte.
5Un ejemplo resuelto
Esta es una pregunta media típica. Prueba cada paso antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
Un filtro RC paso bajo tiene R = 10 kΩ y C = 100 nF. Se aplica una senoidal de 480 Hz. Halla la ganancia |H| en dB y el desfase φ.
1
Frecuencia de corte
Usa unidades base: R = 10 000 Ω y C = 0,0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2
Razón de frecuencias
x = f/fc = 480/159,2 = 3,016
La entrada está por encima de la frecuencia de corte, así que espera una pérdida de ganancia clara.
3
Ganancia
|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4
Fase
Un filtro paso bajo hace que la salida se retrase, así que la fase es negativa.
φ = −atan(3,016) = −71,7°
5
Comprueba la respuesta
La recta da −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, cerca de los −10,0 dB exactos.
Respuesta
|H| ≈ −10,0 dB y φ ≈ −71,7°.
6Errores frecuentes
Usar 10·log₁₀ para una ganancia de tensión. Las ganancias de señales usan 20·log₁₀.
Confundir ω y f. ωc = 1/(RC) está en rad/s; divide entre 2π para Hz.
Usar L/R como frecuencia de corte de un RL. L/R es la constante de tiempo; la frecuencia de corte es ωc = R/L.
Sumar módulos como ω + a. El tamaño de jω + a es √(ω² + a²).
Olvidar el integrador: 1/s da −20 dB/década y −90° a todas las frecuencias.
Dar el valor de la recta cuando la pregunta pide el módulo exacto.
Autoevaluación ¿Cuál es la ganancia en continua de G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) en dB?
16,0 dB
32,0 dB
40 dB
52,0 dB
Respuesta: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, y 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB usa 10·log₁₀. 40 es la razón, no dB. 52,0 dB olvida hacer s = 0 en el denominador.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: filtros y asíntotas. La frecuencia de corte de un filtro RC o RL en Hz o rad/s, la pendiente de una gráfica asintótica en una banda, o la ganancia en continua en dB.
Medio: módulo y fase. La ganancia en dB o la fase de un filtro a una frecuencia dada, el |G(jω)| o ∠G(jω) exactos de una función de transferencia, o f₀, BW o Q de un filtro RLC paso banda.
Difícil: márgenes de estabilidad de un lazo L(s), como 85/(s(s + 5)) o K/(s(s + a)(s + b)).
Para el nivel difícil necesitas dos frecuencias. En el cruce de ganancia ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). En el cruce de fase ω180, ∠L(jω) = −180°.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
Para L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) el cruce de fase está en ω180 = √(a·b). Un lazo es estable cuando ambos márgenes son positivos.
Halla la ganancia a baja frecuencia (continua) de G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) en decibelios, |G(0)| en dB.
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))
Calcula |G(0)|(dB)
Mostrar pistas
A frecuencia muy baja s → 0.
G(0) = 0,3.
20·log₁₀(0,3).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ωc = 1/(RC) o R/L, y fc = ωc/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) y φ = −atan(ω/ωc). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruce de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.
Ganancia en continua
G(0) = 0,3
En decibelios
20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB
Respuesta
|G(0)| = −10,46 dB
Ejemplo 2Media
El filtro paso bajo RC mostrado tiene R = 1 kΩ, C = 1 nF. Se aplica una entrada sinusoidal de 1600 kHz. Halla el desfase φ de vout respecto a vin, en grados.
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
Calcula φ(°)
Mostrar pistas
Halla primero la frecuencia de corte: fc = 159155 Hz.
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10,05.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ωc = 1/(RC) o R/L, y fc = ωc/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) y φ = −atan(ω/ωc). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruce de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.
Frecuencia de corte
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05
Fase
φ = − atan(10,05) = −84,32°
Respuesta
φ = −84,32°
Ejemplo 3Difícil
Un lazo con realimentación unitaria tiene la función de transferencia en lazo abierto L(s) = 185/(s(s + 5)). Halla el margen de fase PM en grados.
Resuelve la ecuación cuadrática en x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ωc = 1/(RC) o R/L, y fc = ωc/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) y φ = −atan(ω/ωc). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruce de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.
Cruce de ganancia
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s
Margen de fase
∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°
Respuesta
PM = 20,82°
Preguntas y respuestas
Diagramas de Bode y márgenes: ¿qué es?
Introduce una onda senoidal en un filtro o amplificador y saldrá una senoidal de la misma frecuencia. Solo cambian dos cosas: su tamaño y su desfase temporal.
La ganancia |H| es la razón entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada. La fase φ es cuánto se desplaza la salida, en grados. Una fase negativa significa que la salida se retrasa.
Diagramas de Bode y márgenes: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ωc = 1/(RC) o R/L, y fc = ωc/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) y φ = −atan(ω/ωc). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruce de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.
Diagramas de Bode y márgenes: ¿cuáles son los errores más comunes?
Esa es la ganancia como razón. Conviértela: 20·log₁₀(0,3).
Para una razón de tensiones o de señales usa 20·log₁₀, no 10·log₁₀ (que es para potencia).
Pon s = 0 en cada factor: G(0) = 0,3, no 12.
Diagramas de Bode y márgenes: ¿qué se practica?
Fácil: filtros y asíntotas
Media: módulo y fase
Difícil: márgenes de estabilidad
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.