Señales y sistemas: problemas de práctica y preguntas de examen

Convolución discreta: la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo es y[n] = Σ_k x[k]·h[n − k]: invierte h, desplázala n posiciones, multiplica muestra a muestra por x y suma. Si x tiene L_x muestras que empiezan en n_x y h tiene L_h muestras que empiezan en n_h, entonces y tiene L_x + L_h − 1 muestras que empiezan en n_x + n_h. La suma de todas las muestras de y es igual a (Σx)·(Σh). Un filtro FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … es una convolución con h[n] = b_n.

Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e^−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).