Calculadora de la transformada inversa de Laplace (fracciones parciales)
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Resultado
Halla la transformada inversa de Laplace de una función racional F(s) = N(s)/D(s). Introduce los coeficientes del numerador y del denominador, empezando por la potencia más alta de s. La calculadora simplifica los factores comunes, divide una fracción impropia, halla los polos, calcula cada coeficiente de las fracciones parciales (para polos distintos, repetidos y complejos) y escribe f(t) como suma de exponenciales, potencias de t, senos y cosenos.
Solución paso a paso
Escribe F(s) como cociente de polinomios
Polos: raíces del denominador
Fracciones parciales
Pares de transformadas utilizados
Transformada inversa de Laplace
Cómo hallar una transformada inversa de Laplace con fracciones parciales
- Asegúrate de que F(s) sea propia: si el grado del numerador no es menor que el del denominador, divide primero. La parte polinómica da impulsos δ(t), δ′(t), etc.
- Factoriza el denominador para hallar los polos: un polo real a da un factor (s − a), un par complejo a ± bj da (s − a)² + b².
- Escribe F(s) como suma de fracciones parciales y halla los coeficientes. Para un polo simple, A = [(s − a)·F(s)] en s = a (método de los residuos o «tapar y evaluar»); los polos repetidos requieren derivadas.
- Transforma cada término con la tabla: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! y (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Suma los términos para obtener f(t) para t ≥ 0.
Preguntas y respuestas
¿Cómo introduzco F(s)?
Escribe los coeficientes de cada polinomio desde la potencia más alta de s hacia abajo, separados por espacios, con ceros para las potencias que faltan. (s + 3)/(s² + 3s + 2) es numerador 1 3 y denominador 1 3 2; 1/(s³ + 4s) es numerador 1 y denominador 1 0 4 0. Se admiten fracciones como 1/2 y decimales.
¿Qué es el método de «tapar y evaluar»?
Para un polo simple en s = a, multiplica F(s) por (s − a), simplifica y sustituye s = a. Para F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) resulta 2/1 = 2 en s = −1 y 1/(−1) = −1 en s = −2, así que f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
¿Cómo se tratan los polos complejos?
Un par de polos a ± bj da un término (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), cuya inversa es e^(at)·(B cos bt + C sin bt). La calculadora halla B y C a partir del coeficiente complejo A en a + bj: B = 2·Re A y C = −2·Im A.
¿Qué pasa si el grado del numerador es demasiado alto?
Entonces F(s) es impropia. La división de polinomios da F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). El polinomio Q(s) se transforma en impulsos: una constante c da c·δ(t), c·s da c·δ′(t), y así sucesivamente. La parte propia R(s)/D(s) se descompone en fracciones parciales como de costumbre.
¿Qué exactitud tienen los resultados?
Los factores comunes y los factores repetidos se hallan con exactitud, con fracciones. Después las raíces y los coeficientes se calculan numéricamente con unas 14 cifras y se muestran con 4 cifras significativas, así que los polos irracionales, como los de s² + s + 1, aparecen como decimales.
¿Por qué f(t) solo es válida para t ≥ 0?
La transformada de Laplace unilateral solo usa los valores de f para t ≥ 0. En rigor, el resultado es f(t)·u(t), con u el escalón unitario, de modo que f(t) = 0 para t < 0.
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