Convolución y sistemas LTI: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Convolución y sistemas LTI con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: convolución discreta, convolución continua, respuesta al impulso y serie de Fourier.

Problema de práctica gratisFácil
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Las secuencias x[n] = {−3, 2, 4, 3} y h[n] = {1, 1, 1} empiezan ambas en n = 0. Halla la muestra y[1] de la convolución y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
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Qué practicas

  1. Fácilconvolución discreta
  2. Mediaconvolución continua
  3. Difícilrespuesta al impulso y serie de Fourier

Cómo resolver problemas de Convolución y sistemas LTI

  1. Dibuja ambas señales y anota dónde es distinta de cero cada una.
  2. Invierte h y deslízala: para cada instante de salida, halla el rango donde ambas señales se solapan.
  3. Multiplica y suma (discreto) o multiplica e integra (continuo) solo en ese solapamiento.
  4. Comprueba el resultado: la salida empieza en la suma de los instantes iniciales, termina en la suma de los instantes finales, y su área o suma es el producto de las áreas o sumas de las entradas.

Errores frecuentes

  • Multiplicar las dos señales muestra a muestra en lugar de convolucionarlas.
  • Desplazar h sin invertirla, lo que da la correlación.
  • Usar la fórmula de la respuesta al escalón donde se pide la respuesta al impulso, o al revés.
  • Contar mal el número de armónico: la componente a k/T es el armónico k.

Fórmulas clave

Convolución discreta
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Convolución continua
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Longitud y suma
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Inicio, final y área
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Escalón sobre e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistema de primer orden
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Recursión de primer orden
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoide a través de h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudes de la serie de Fourier
cuadrada ±A: 4A/(kπ), k impar; triangular ±A: 8A/(π²k²), k impar; tren de pulsos: A·D y (2A/(kπ))|sin kπD|

Aprende Convolución y sistemas LTI desde cero

Antes de esto: Integrales

1Qué hace la convolución

Un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) queda descrito por completo por su respuesta al impulso h: la salida que da cuando la entrada es un único golpe breve.

Cualquier entrada puede verse como una fila de golpes escalados y desplazados. Cada golpe produce una copia escalada y desplazada de h, y la salida es la suma de todas las copias. Esa suma es la convolución y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

La convolución aparece siempre que un sistema tiene memoria: filtros, sensores, estructuras, circuitos y la dispersión de una señal en el tiempo.

Autoevaluación Un sistema tiene h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). La entrada es una sola muestra x[0] = 2. ¿Cuál es la salida?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Respuesta: y[n] = {2, 6}. Un golpe de altura 2 da una copia de h escalada por 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. La convolución conserva la forma de h; no suma las muestras entre sí.

2La convolución discreta paso a paso

Para secuencias la convolución es una suma:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Invierte h: h[−k] es h reflejada respecto a k = 0.
  2. Desplaza la h invertida n posiciones.
  3. Multiplícala muestra a muestra por x y suma los productos. Eso da y[n].
  4. Repite para cada n. Si x tiene Lx muestras y h tiene Lh, y tiene Lx + Lh − 1 muestras, que empiezan en la suma de los dos índices iniciales.

Una comprobación rápida: la suma de todas las muestras de y es igual a (Σx)·(Σh).

Autoevaluación Para x[n] = {1, 2} y h[n] = {3, 1}, ambas empezando en n = 0, ¿cuánto vale y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Respuesta: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Multiplicar solo x[1]·h[1] da 2, y 6 conserva solo uno de los dos productos.

3Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Convoluciona x[n] = {2, 1, −1} con h[n] = {1, 3}, ambas empezando en n = 0.

1

Observa las secuencias

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x tiene 3 muestras y h tiene 2, así que y tiene 3 + 2 − 1 = 4 muestras, de n = 0 a n = 3.

2

y[0]

Solo se solapan x[0] y h[0].

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] e y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Comprueba la respuesta

Σx = 2 y Σh = 4, así que Σy debe ser 8. En efecto 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Respuesta

y[n] = {2, 7, 2, −3} para n = 0 … 3.

4Convolución continua

Para señales en tiempo continuo la suma se convierte en una integral:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

El método es el mismo: invierte h, deslízala hasta la posición t e integra el producto en la parte donde ambas señales son distintas de cero.

x(t)t12h(t)t1

Con x(t) = 2 para 0 ≤ t < 1 s y h(t) = e−tu(t), la salida mientras el pulso está activo es y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). En t = 1 s alcanza 2(1 − e−1) = 1,26, y después decae como 1,26·e−(t − 1).

  • y empieza en la suma de los dos instantes iniciales y termina en la suma de los dos instantes finales.
  • El área bajo y es el área bajo x por el área bajo h.
  • Dos pulsos rectangulares dan un trapecio; dos iguales dan un triángulo.
Autoevaluación x(t) es distinta de cero de 0 a 2 s y h(t) de 1 s a 4 s. ¿Cuándo termina y(t) = x(t) ∗ h(t)?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Respuesta: 6 s. y termina en la suma de los instantes finales: 2 + 4 = 6 s. Empieza en 0 + 1 = 1 s, así que dura 5 s; 5 s es la duración, no el final.

5Respuestas al impulso y series de Fourier

Un sistema de primer orden y′ + a·y = b·x tiene la respuesta al impulso h(t) = b·e−atu(t). Su equivalente discreto y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] tiene h[n] = b·aⁿ para n ≥ 0.

Una sinusoide atraviesa un sistema LTI sin cambiar su frecuencia. Se escala por |H(jω)| y se desfasa ∠H(jω), donde H es la transformada de Fourier de h. Para h(t) = b·e−atu(t), H(jω) = b/(a + jω).

Una señal periódica de periodo T es una suma de armónicos a las frecuencias k/T. Algunas amplitudes estándar:

  • Onda cuadrada entre −A y +A: solo k impar, amplitud 4A/(kπ).
  • Onda triangular entre −A y +A: solo k impar, amplitud 8A/(π²k²).
  • Tren de pulsos de altura A y ciclo de trabajo D: media A·D, armónicos (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Autoevaluación Una onda cuadrada conmuta entre −2 y +2. ¿Cuál es la amplitud de su tercer armónico?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Respuesta: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 es la fundamental, 0,283 divide entre k² como en una triangular, y 0,424 usa 2A/(kπ), la fórmula de una onda de 0 a A.

6Errores frecuentes

  • Multiplicar las dos señales muestra a muestra en lugar de convolucionarlas.
  • Deslizar h sin invertirla; eso da la correlación, no la convolución.
  • Confundir la respuesta al impulso con la respuesta al escalón: la respuesta al escalón es la suma acumulada o la integral de h.
  • Contar mal los armónicos: la componente a k/T es el armónico k.
Autoevaluación x[n] = {1, 2} y h[n] = {1, 1}, ambas desde n = 0. ¿Cuánto vale y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Respuesta: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. El producto muestra a muestra x[1]·h[1] da solo 2.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: convolución discreta. Halla una muestra de salida, la mayor muestra, la suma de todas las muestras, el primer o último índice de y, la salida de un filtro FIR o la respuesta a un escalón.
  • Medio: convolución continua. Halla y(t) en un instante dado para dos pulsos, una exponencial con un escalón o un pulso, o dos exponenciales, y el área, el inicio, el final o la duración de y.
  • Difícil: respuestas al impulso y series de Fourier. Halla h(t) de una ecuación diferencial de primer orden, h[n] o la respuesta al escalón de una recursión, la ganancia o la fase para una sinusoide, o un armónico de una onda cuadrada, triangular o de pulsos.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Las secuencias x[n] = {4, −3, −2} y h[n] = {3, 1} empiezan ambas en n = 0. Halla la muestra y[1] de la convolución y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Calcula y[1]

Mostrar pistas
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Para n = 1 los términos son k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Convolución discreta: la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo es y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: invierte h, desplázala n posiciones, multiplica muestra a muestra por x y suma. Si x tiene Lx muestras que empiezan en nx y h tiene Lh muestras que empiezan en nh, entonces y tiene Lx + Lh − 1 muestras que empiezan en nx + nh. La suma de todas las muestras de y es igual a (Σx)·(Σh). Un filtro FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … es una convolución con h[n] = bn.

Términos de la suma

Solo contribuyen los k para los que existen tanto x[k] como h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Súmalas

y[1] = −5

Respuesta

y[1] = −5
Ejemplo 2Media
x(t)t11h(t)t1

El pulso x(t) = 1 para 0 ≤ t < 1 s (cero en el resto) se aplica a un sistema con h(t) = e−2tu(t). Halla la salida y(2,5) en t = 2,5 s, cuando el pulso ya ha terminado.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Calcula y(2.5)

Mostrar pistas
  1. Escribe el pulso como un escalón en t = 0 menos un escalón en t = 1 s.
  2. La respuesta al escalón es (A/a)(1 − e−at).
  3. Después del pulso: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Convolución continua: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Invierte h, desplázala hasta la posición t e integra el producto de las partes que se solapan. Para señales causales la integral va de 0 a t. Resultados útiles: el área de y es el área de x por el área de h; si x dura de t₁ a t₂ y h de t₃ a t₄, y dura de t₁ + t₃ a t₂ + t₄. Para h(t) = e−atu(t) y un escalón de altura A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Salida al final del pulso

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Decaimiento tras el pulso

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Respuesta

y(2,5) = 0,02152
Ejemplo 3Difícil
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Un sistema obedece y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Halla su respuesta al impulso en t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Calcula h(0.05)

Mostrar pistas
  1. Aplica la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Respuesta al impulso y serie de Fourier: la respuesta al impulso h(t) describe por completo un sistema LTI: para y′ + a·y = b·x es h(t) = b·e−atu(t), y para y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] es h[n] = b·aⁿu[n]. Una sinusoide cos ωt pasa con ganancia |H(jω)| y fase ∠H(jω), donde H es la transformada de Fourier de h. Una señal periódica es una suma de armónicos a k/T: una onda cuadrada de ±A tiene solo armónicos impares con amplitudes 4A/(kπ), una onda triangular de pico A tiene 8A/(π²k²), y un tren de pulsos de altura A y ciclo de trabajo D tiene el valor medio A·D y los armónicos (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Función de transferencia

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Respuesta al impulso

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Respuesta

h(0,05) = 2,336

Preguntas y respuestas

Convolución y sistemas LTI: ¿qué es?

Un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) queda descrito por completo por su respuesta al impulso h: la salida que da cuando la entrada es un único golpe breve.

Cualquier entrada puede verse como una fila de golpes escalados y desplazados. Cada golpe produce una copia escalada y desplazada de h, y la salida es la suma de todas las copias. Esa suma es la convolución y = x ∗ h.

Convolución y sistemas LTI: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Dibuja ambas señales y anota dónde es distinta de cero cada una.
  2. Invierte h y deslízala: para cada instante de salida, halla el rango donde ambas señales se solapan.
  3. Multiplica y suma (discreto) o multiplica e integra (continuo) solo en ese solapamiento.
  4. Comprueba el resultado: la salida empieza en la suma de los instantes iniciales, termina en la suma de los instantes finales, y su área o suma es el producto de las áreas o sumas de las entradas.
Convolución y sistemas LTI: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Multiplicar las dos señales muestra a muestra en lugar de convolucionarlas.
  • Desplazar h sin invertirla, lo que da la correlación.
  • Usar la fórmula de la respuesta al escalón donde se pide la respuesta al impulso, o al revés.
  • Contar mal el número de armónico: la componente a k/T es el armónico k.
Convolución y sistemas LTI: ¿qué se practica?
  • Fácil: convolución discreta
  • Media: convolución continua
  • Difícil: respuesta al impulso y serie de Fourier

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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