Error en régimen permanente y control PID: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Error en régimen permanente y control PID con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: tipo de sistema y constantes de error, errores en régimen permanente y ganancia, diseño P, PI y PD.

Problema de práctica gratisFácil
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Un lazo con realimentación unitaria tiene la función de transferencia de lazo abierto G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Halla la constante de error de velocidad Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
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Practica Error en régimen permanente y control PID gratisPractica Error en régimen permanente y control PID ahora5 problemas gratis cada día. Sin tarjeta.

Qué practicas

  1. Fáciltipo de sistema y constantes de error
  2. Mediaerrores en régimen permanente y ganancia
  3. Difícildiseño P, PI y PD

Cómo resolver problemas de Error en régimen permanente y control PID

  1. Cuenta los polos del lazo abierto C(s)·G(s) en s = 0: ese es el tipo del sistema.
  2. Calcula la constante de error que corresponde a la entrada: Kp para un escalón, Kv para una rampa, Ka para una parábola.
  3. Aplica ess = A/(1 + Kp), A/Kv o A/Ka, o despeja la ganancia que necesitas.
  4. Para una especificación de amortiguamiento o de velocidad, escribe el polinomio característico de lazo cerrado e identifícalo con s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Errores frecuentes

  • Usar A/Kp en lugar de A/(1 + Kp) para un escalón.
  • Olvidar la ganancia de la planta al igualar coeficientes: la ganancia de lazo es K por la ganancia de la planta.
  • Ignorar el integrador del controlador al contar el tipo del sistema.
  • Esperar que una ganancia proporcional por sí sola elimine el error ante escalón en un lazo de tipo 0.

Fórmulas clave

Tipo de sistema
número de polos de G(s) en s = 0
Constantes de error
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Escalón A
ess = A/(1 + Kp)
Rampa A·t
ess = A/Kv
Parábola A·t²/2
ess = A/Ka
Controlador PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Objetivo de segundo orden
s² + 2ζωns + ωn²
Sobreimpulso y tiempos
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Aprende Error en régimen permanente y control PID desde cero

Antes de esto: Diagramas de bloques, Respuesta al escalón

1Seguir una consigna

Un lazo realimentado compara la consigna r con la salida y y actúa sobre el error e = r − y. Idealmente la salida termina exactamente en la consigna.

A menudo no es así. Cuando el transitorio se ha extinguido, puede quedar una diferencia: el error en régimen permanente ess.

tyress​

El valor de ess depende del tipo de entrada (un escalón, una rampa o una parábola) y de cuántos integradores contiene el lazo.

Autoevaluación Un lazo con realimentación unitaria recibe r = 1 y su salida se estabiliza en y = 0,95. ¿Cuál es el error en régimen permanente?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Respuesta: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. La salida en sí es 0,95, y el signo es positivo porque la salida se queda por debajo de la consigna.

2Tipo de sistema y constantes de error

El tipo de sistema es el número de polos del lazo abierto G(s) en s = 0, es decir, el número de integradores. G(s) = 10/(s(s + 5)) tiene uno, así que es de tipo 1.

Tres constantes de error resumen G(s) a frecuencias muy bajas (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Con el teorema del valor final dan el error para cada entrada:

escalón A: A/(1 + Kp) rampa A·t: A/Kv parábola A·t²/2: A/Ka
  • Tipo 0: error finito ante escalón, error infinito ante rampa.
  • Tipo 1: error nulo ante escalón, error finito ante rampa.
  • Tipo 2: error nulo ante escalón y rampa, error finito ante parábola.
Autoevaluación ¿Cuál es la constante de error de velocidad Kv de G(s) = 10/(s(s + 5))?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Respuesta: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), que es 10/5 = 2 en s = 0. El valor 0,5 es el error ante rampa 1/Kv, no la constante.

3El método paso a paso

  1. Escribe el lazo abierto: el controlador por la planta, C(s)·G(s).
  2. Cuenta sus polos en s = 0 para obtener el tipo del sistema.
  3. Elige la constante de error que corresponde a la entrada: Kp para un escalón, Kv para una rampa, Ka para una parábola.
  4. Evalúa el límite: cancela los factores s y luego sustituye s = 0 en lo que queda.
  5. Aplica la fórmula del error, o despeja la ganancia que da un error requerido.

Para una especificación de amortiguamiento o de velocidad, escribe el polinomio característico de lazo cerrado e identifícalo con s² + 2ζωns + ωn².

4Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Un lazo con realimentación unitaria tiene G(s) = K/(s(s + 4)). Debe seguir la rampa r(t) = 2t con un error en régimen permanente de 0,1. Halla K y el coeficiente de amortiguamiento resultante.

1

Halla el tipo de sistema

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) tiene un polo en s = 0, así que el lazo es de tipo 1: una rampa da un error finito.

2

Constante de velocidad

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Kv requerida

La pendiente de la rampa es A = 2, así que ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Ganancia

K = 4·Kv = 80
5

Comprueba el amortiguamiento

El polinomio característico es s² + 4s + 80, así que ωn = √80 = 8,94 rad/s y ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

Se cumple el error, pero la respuesta al escalón sobreoscila en torno al 49 %. Ese compromiso es la razón de que los controladores sean algo más que una sola ganancia.

Respuesta

K = 80, lo que da ζ = 0,22.

5Controladores P, PI y PID

El controlador PID combina tres acciones sobre el error:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Proporcional (Kp): un lazo más rápido y un error menor para una planta de tipo 0, pero el error ante escalón nunca llega a cero.
  • Integral (Ki/s): añade un polo en s = 0, así que el tipo sube una unidad y un escalón se sigue sin error.
  • Derivativo (Kd·s): añade amortiguamiento y reduce el sobreimpulso.

Para elegir las ganancias, iguala coeficientes. Un controlador PI sobre G(s) = 2/(s + 3) da el polinomio característico s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Para ωn = 5 rad/s y ζ = 0,8 el objetivo es s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Autoevaluación Se añade un integrador al controlador de un lazo de tipo 0. ¿Qué le pasa al error en régimen permanente ante un escalón unitario?
  1. Aumenta
  2. Disminuye pero no llega a cero
  3. Se hace cero
  4. Se hace infinito

Respuesta: Se hace cero. El integrador convierte el lazo en tipo 1, así que Kp es infinita y A/(1 + Kp) = 0. Una ganancia proporcional mayor por sí sola solo reduciría el error.

6Errores frecuentes

  • Usar A/Kp en lugar de A/(1 + Kp) para un escalón.
  • Olvidar la ganancia de la planta al igualar coeficientes: la ganancia de lazo es la ganancia del controlador por la ganancia de la planta.
  • Contar solo los integradores de la planta y pasar por alto el del controlador PI.
  • Omitir los ceros al evaluar Kv: un factor (s + 3) vale 3 en s = 0.
Autoevaluación Se aplica un escalón de tamaño 5 a un lazo de tipo 0 con Kp = 9. ¿Cuál es el error en régimen permanente?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Respuesta: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Dividir solo entre Kp da 0,556, omitir el tamaño del escalón da 0,1, y 4,5 es la salida final.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: tipo de sistema y constantes de error. Halla el tipo, Kp, Kv o Ka de una función de transferencia, un error ante escalón o la salida final de un lazo con control P.
  • Medio: errores en régimen permanente y ganancia. Halla el error ante una rampa, una parábola o un escalón más una rampa, o la ganancia que da un error requerido.
  • Difícil: diseño P, PI y PD. Elige K para un coeficiente de amortiguamiento, halla el sobreimpulso, el tiempo de pico o el tiempo de establecimiento para una K dada, elige ganancias PI o PD igualando coeficientes, o halla el error ante rampa con un controlador PI.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Un lazo con realimentación unitaria tiene la función de transferencia de lazo abierto G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Halla la constante de error de aceleración Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Calcula Ka

Mostrar pistas
  1. K_a = lim s²·G(s) cuando s → 0.
  2. La s² cancela el polo doble en el origen.
  3. Ka = 2·2/2.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final ess = lims→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) y Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t da A/Kv y una parábola A·t²/2 da A/Ka. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.

Constante de aceleración

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Respuesta

Ka = 2
Ejemplo 2Media
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Un lazo con realimentación unitaria tiene G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Halla la ganancia K que da un error en régimen permanente del 2 % para una entrada en escalón.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Calcula K

Mostrar pistas
  1. Para un escalón unitario e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final ess = lims→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) y Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t da A/Kv y una parábola A·t²/2 da A/Ka. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.

Constante de error requerida

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Ganancia

K/10 = 49 → K = 490

Respuesta

K = 490

Comprueba también la estabilidad del lazo cerrado: en este lazo de segundo orden cualquier K > 0 es estable.

Ejemplo 3Difícil
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Un controlador proporcional K = 8 controla la planta G(s) = 5/(s(s + 2)) en un lazo con realimentación unitaria. Halla el tiempo de establecimiento al 2 % ts de la respuesta al escalón, usando ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Calcula ts (s)

Mostrar pistas
  1. El polinomio característico es s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ es la mitad del coeficiente de s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Control P, PI y PID: el controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζωns + ωn². Entonces %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd con ωd = ωn√(1 − ζ²), y ts ≈ 4/(ζωn).

Polinomio característico

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ y ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Tiempo de establecimiento

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Respuesta

ts = 4 s

Aquí el tiempo de establecimiento no depende de K: aumentar K solo hace que la respuesta oscile más rápido.

Preguntas y respuestas

Error en régimen permanente y control PID: ¿qué es?

Un lazo realimentado compara la consigna r con la salida y y actúa sobre el error e = r − y. Idealmente la salida termina exactamente en la consigna.

A menudo no es así. Cuando el transitorio se ha extinguido, puede quedar una diferencia: el error en régimen permanente ess.

Error en régimen permanente y control PID: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Cuenta los polos del lazo abierto C(s)·G(s) en s = 0: ese es el tipo del sistema.
  2. Calcula la constante de error que corresponde a la entrada: Kp para un escalón, Kv para una rampa, Ka para una parábola.
  3. Aplica ess = A/(1 + Kp), A/Kv o A/Ka, o despeja la ganancia que necesitas.
  4. Para una especificación de amortiguamiento o de velocidad, escribe el polinomio característico de lazo cerrado e identifícalo con s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Error en régimen permanente y control PID: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Usar A/Kp en lugar de A/(1 + Kp) para un escalón.
  • Olvidar la ganancia de la planta al igualar coeficientes: la ganancia de lazo es K por la ganancia de la planta.
  • Ignorar el integrador del controlador al contar el tipo del sistema.
  • Esperar que una ganancia proporcional por sí sola elimine el error ante escalón en un lazo de tipo 0.
Error en régimen permanente y control PID: ¿qué se practica?
  • Fácil: tipo de sistema y constantes de error
  • Media: errores en régimen permanente y ganancia
  • Difícil: diseño P, PI y PD

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Diagramas de bloquesRespuesta al escalón

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