Diagramas de bloques: problemas de práctica con soluciones paso a paso
Problemas gratis de Diagramas de bloques con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: serie, paralelo y realimentación, funciones de transferencia en lazo cerrado y errores, perturbaciones, estabilidad y polos.
Problema de práctica gratisFácil
La señal R se divide en dos bloques en paralelo G₂ = 11 y G₃ = 8. Sus salidas se juntan en un punto de suma con los signos indicados (+ and +), y la suma pasa por G₁ = 9. Halla la ganancia total T = C/R.
Un sistema de control es una cadena de partes: un controlador, un motor, un sensor. Un diagrama de bloques dibuja cada parte como una caja y cada señal como una flecha.
Un bloque multiplica su señal de entrada por su ganancia o función de transferencia G. Si entra 3 en un bloque G = 5, sale 15.
Un punto de suma (un círculo) suma o resta señales. El signo junto a cada flecha de entrada te dice cuál. Un punto es un punto de bifurcación: la señal se copia, no se reparte.
Esta es la imagen más importante del control. La salida C se mide a través de H y se resta de la referencia R. La diferencia E = R − H·C es el error que excita a G.
Esto es realimentación negativa: cuando la salida es demasiado alta, el error se reduce y la hace bajar de nuevo.
Autoevaluación En un punto de suma, R entra con + y la señal de realimentación B entra con −. R = 10 y B = 4. ¿Qué sale del punto de suma?
14
40
6
−6
Respuesta: 6. Los signos del punto de suma dicen que E = R − B = 10 − 4 = 6. 14 ignora el signo menos, y −6 resta al revés.
2Tres reglas para simplificar cualquier diagrama
Reduces un diagrama paso a paso hasta que queda un solo bloque. Su ganancia T = C/R es la función de transferencia en lazo cerrado.
Serie: los bloques uno tras otro se multiplican, G₁·G₂.
Paralelo: los bloques que alimentan el mismo punto de suma se suman, con los signos del punto de suma: G₁ + G₂ o G₁ − G₂.
Lazo de realimentación: un bloque directo G con realimentación negativa H se convierte en G/(1 + G·H).
La regla de la realimentación sale de dos ecuaciones. En el punto de suma E = R − H·C, y el bloque da C = G·E. Así, C = G·R − G·H·C, y por tanto:
T = C/R = G/(1 + G·H)
Con realimentación positiva la señal se suma en el punto de suma, y el signo del denominador cambia: T = G/(1 − G·H).
El producto G·H es la ganancia de lazo. Cuando es grande, T se acerca a 1/H: el sensor, no la planta, fija la ganancia.
Autoevaluación G₁ = 2 y G₂ = 5 están en serie, con realimentación negativa H = 0,3. ¿Cuánto vale T = C/R?
0,75
10
2,5
−5
Respuesta: 2,5. G = 2·5 = 10 y G·H = 3, así que T = 10/(1 + 3) = 2,5. El valor 10 ignora el lazo, −5 usa 1 − G·H, y 0,75 pone H en el numerador.
3Lazos con funciones de transferencia
Los bloques reales dependen de s, por ejemplo un motor G(s) = b/(s + a). Se aplican las mismas reglas. Después eliminas las fracciones dentro de fracciones.
Con realimentación unitaria (H = 1), multiplica el numerador y el denominador de G/(1 + G) por (s + a):
T(s) = b/(s + a + b)
El polo en lazo cerrado es la raíz del denominador: p = −(a + b). Está más a la izquierda que el polo en lazo abierto −a, así que el lazo es más rápido.
La constante de tiempo es τ = 1/(a + b).
La ganancia en continua es T(0) = b/(a + b). Un escalón de tamaño A se estabiliza en css = A·T(0).
Con una ganancia de sensor H el denominador pasa a ser s + a + b·H.
El error en régimen permanente ess es lo que queda de R − C tras estabilizarse. Con realimentación unitaria, usa las constantes de error:
Para un escalón de tamaño A: ess = A/(1 + Kp), con la constante de posición Kp = G(0).
Para una rampa r(t) = A·t: ess = A/Kv, con la constante de velocidad Kv = lims→0 s·G(s).
Para G(s) = 8/(s(s + 4)) el factor s se cancela: Kv = 8/4 = 2. Una rampa r(t) = 1·t deja entonces ess = 1/2 = 0,5.
Para un lazo de segundo orden como G(s) = K/(s(s + 6)), el lazo cerrado tiene s² + 6s + K = 0. Dos polos reales iguales (amortiguamiento crítico) requieren 6² = 4K, así que K = 9.
Ejemplo resuelto
G(s) = 6/(s + 2) se coloca en un lazo de realimentación negativa unitaria. Halla el polo en lazo cerrado, la constante de tiempo y la salida en régimen permanente para un escalón de tamaño 4.
1
Cierra el lazo
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
Polo y constante de tiempo
El polo es la raíz de s + 8 = 0.
p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s
3
Salida en régimen permanente
Haz s = 0 para la ganancia en continua y luego multiplica por el tamaño del escalón.
T(0) = 6/8 = 0,75, css = 4·0,75 = 3
El error es 4 − 3 = 1. La constante Kp = G(0) = 3 da lo mismo: 4/(1 + 3) = 1.
Respuesta
p = −8, τ = 0,125 s y css = 3.
Autoevaluación G(s) = 6/(s + 2) está en un lazo de realimentación negativa unitaria. ¿Qué número es el polo en lazo cerrado?
8
−0,125
−2
−8
Respuesta: −8. T(s) = 6/(s + 8), así que el polo es −8. −2 es el polo en lazo abierto antes de la realimentación. Un polo es un valor de s, así que aquí es negativo, y −0,125 lo confunde con τ = 1/8.
4El método paso a paso
Encuentra el lazo más interno. Redúcelo primero con G/(1 + G·H), o G/(1 − G·H) para realimentación positiva.
Combina los bloques en serie (multiplica) y en paralelo (suma con los signos del punto de suma).
Repite hasta que quede un solo bloque. Ese bloque es T(s) = C/R.
Elimina las fracciones: multiplica el numerador y el denominador por los denominadores de G(s).
Lee lo que piden: los polos a partir del denominador, T(0) para el régimen permanente, τ = 1/(valor del polo) para un lazo de primer orden.
Comprobación rápida: en s = 0 puedes reducir el diagrama solo con números. Eso da T(0) directamente y detecta la mayoría de los errores de álgebra.
5Un ejemplo resuelto
Esta es una pregunta media típica con un lazo menor. Prueba cada paso antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
La planta G(s) = 3/(s + 1) tiene un lazo interno de realimentación negativa con H₁ = 1. Un controlador K = 4 y un lazo externo de realimentación negativa unitaria cierran el sistema. Halla el polo en lazo cerrado p y la ganancia en continua T(0).
1
Mira el diagrama
Hay dos lazos. El lazo interno rodea solo la planta. El lazo externo lo rodea todo, desde C de vuelta a R.
2
Reduce el lazo interno
Usa G/(1 + G·H₁) y multiplica el numerador y el denominador por (s + 1):
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
Serie con el controlador
K y Gᵢ están ahora en serie, así que multiplica:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
Cierra el lazo externo
Realimentación unitaria alrededor de 12/(s + 4):
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
El polo es p = −16, y T(0) = 12/16 = 0,75.
5
Comprueba la respuesta
Repítelo en s = 0 solo con números. G(0) = 3, el lazo interno da 3/(1 + 3) = 0,75, y K lo hace 3.
El lazo externo da 3/(1 + 3) = 0,75. Esto coincide con T(0).
Respuesta
T(s) = 12/(s + 16), así que p = −16 y T(0) = 0,75.
6Errores frecuentes
Usar 1 − G·H para realimentación negativa. La realimentación negativa da 1 + G·H, la positiva da 1 − G·H.
Poner H en el numerador. T = G/(1 + G·H): H aparece solo en la ganancia de lazo.
Cerrar el lazo externo antes que el interno. Trabaja siempre de dentro hacia fuera.
Olvidar la ganancia del sensor H en el polo: el denominador es s + a + b·H, no s + a + b.
Dar el polo en lazo abierto −a o la ganancia en lazo abierto G(0). La realimentación cambia ambos.
Usar A/Kp para el error ante un escalón. La fórmula correcta es A/(1 + Kp).
Autoevaluación Un amplificador G = 10 tiene realimentación positiva H = 0,05: la señal de realimentación se suma en el punto de suma. ¿Cuánto vale T = C/R?
0,5
10
20
6,67
Respuesta: 20. La realimentación positiva da T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. El valor 6,67 usa la fórmula de realimentación negativa 10/1,5. 10 ignora el lazo, y 0,5 es solo la ganancia de lazo G·H.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: serie, paralelo y realimentación. Reduces ganancias en un lazo, bloques en paralelo con signos, o realimentación positiva. O cierras un lazo unitario alrededor de b/(s + a) y das el polo, τ, T(0) o css.
Medio: funciones de transferencia en lazo cerrado y errores. Un lazo menor como en el ejemplo, una ganancia de sensor H, la ganancia K para amortiguamiento crítico, o el error en régimen permanente ante un escalón o una rampa.
Difícil: perturbaciones, estabilidad y polos. Una perturbación D sumada a la entrada de la planta, o la mayor ganancia Kmax para la estabilidad con el criterio de Routh–Hurwitz.
Para una perturbación, usa superposición: halla C a partir de R con D = 0, luego C a partir de D con R = 0, y suma las dos.
La señal R se divide en dos bloques en paralelo G₂ = 7 y G₃ = 12. Sus salidas se juntan en un punto de suma con los signos indicados (+ and −), y la suma pasa por G₁ = 10. Halla la ganancia total T = C/R.
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12signos: + G₂, − G₃
Calcula T
Mostrar pistas
Los bloques en paralelo que llegan a un punto de suma se suman con los signos del punto de suma.
La combinación está en serie con G₁, así que multiplica.
G₂ − G₃ = -5.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Bloques en paralelo
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
En serie con G₁
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
Respuesta
T = −50
Ejemplo 2Media
Un lazo de realimentación negativa unitaria tiene G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). Se aplica un escalón de tamaño 2 en la referencia. Halla el error en régimen estacionario ess.
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
Calcula ess
Mostrar pistas
Constante de error de posición Kₚ = G(0).
Error en régimen estacionario para un escalón de tamaño A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Constante de error de posición
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375
Error en régimen estacionario
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455
Respuesta
ess = 1,455
Ejemplo 3Difícil
Reduce el diagrama de bloques con G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), una realimentación negativa interna H₁ = 4 alrededor de G₂ y una realimentación negativa externa H₂ = 1. Halla la ganancia en continua T(0) de C(s)/R(s).
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
Calcula T(0)
Mostrar pistas
Lazo interno: G₂/(1 + G₂·H₁). Luego T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
En total T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). Para la ganancia en continua pon s = 0 en cada bloque.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.
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Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Un sistema de control es una cadena de partes: un controlador, un motor, un sensor. Un diagrama de bloques dibuja cada parte como una caja y cada señal como una flecha.
Un bloque multiplica su señal de entrada por su ganancia o función de transferencia G. Si entra 3 en un bloque G = 5, sale 15.
Diagramas de bloques: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Diagramas de bloques: ¿cuáles son los errores más comunes?
Comprueba el signo en el punto de suma: el camino de G₃ entra con −.
Solo los bloques en paralelo se suman; G₁ está en serie con ellos y multiplica.
Los bloques en paralelo se suman (con sus signos); no se multiplican.
Diagramas de bloques: ¿qué se practica?
Fácil: serie, paralelo y realimentación
Media: funciones de transferencia en lazo cerrado y errores
Difícil: perturbaciones, estabilidad y polos
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.