Análisis nodal: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: método de nodos · análisis por nodos · voltajes de nodo
Problemas gratis de Análisis nodal con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: 1 nodo desconocido, 2 nodos desconocidos, 2 nodos, 3 fuentes.
Problema de práctica gratisFácil
Usa el análisis nodal para hallar la corriente IR1 por R1 en el sentido de la flecha.
El análisis nodal es un método estándar para hallar todas las tensiones de un circuito. Funciona incluso cuando las reglas de serie y paralelo no bastan.
Un nodo es un punto donde se unen dos o más partes de un circuito. Un tramo entero de cable simple cuenta como un solo nodo, porque en un cable no hay caída de tensión.
Eliges un nodo como referencia, también llamado masa o tierra, y le das 0 V. La tensión de cada uno de los demás nodos se mide desde ese nodo.
Piensa en las alturas de un mapa, medidas desde el nivel del mar. El agua fluye de lo alto a lo bajo, y el caudal en una tubería depende de la diferencia de altura entre sus extremos.
Cuando conoces las tensiones de los nodos, la ley de Ohm da todas las corrientes. Así que las tensiones de los nodos son las únicas incógnitas que necesitas.
Autoevaluación ¿Qué nodo tiene una tensión de 0 V por definición?
El nodo con más resistencias
El nodo de referencia (masa) que elegiste
El nodo junto a la fuente más grande
Todos los nodos sin fuente
Respuesta: El nodo de referencia (masa) que elegiste. Tú eliges el nodo de referencia y lo llamas 0 V. Las tensiones de todos los demás nodos se miden desde él.
2Ley de corrientes de Kirchhoff
La carga no puede acumularse en un nodo. Así que toda la corriente que entra en un nodo debe salir de él. Es la ley de corrientes de Kirchhoff (KCL).
ΣIin = ΣIout
Por ejemplo, si entran 3 A y 2 A en un nodo, entonces 5 A en total deben salir por las demás ramas.
Escribes la corriente en cada resistencia con la ley de Ohm, usando las tensiones en sus dos extremos:
I = (Va − Vb) / R
Esta es la corriente de a a b. Si el resultado es negativo, la corriente realmente circula de b a a. No pasa nada: conserva el signo.
Autoevaluación El nodo a está a 9 V y el nodo b a 4 V. Una resistencia de 5 Ω los conecta. ¿Qué corriente circula de a a b?
1 A
1,8 A
2,6 A
−1 A
Respuesta: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. Sumar las tensiones da 2,6 A, intercambiarlas da −1 A, y 1,8 A ignora la tensión en b.
3El método paso a paso
Elige el nodo de referencia. Lo habitual es el cable inferior. Márcalo con el símbolo de masa.
Encuentra los nodos cuya tensión ya conoces. Un nodo unido a masa por una fuente de tensión está a la tensión de esa fuente.
Nombra todos los demás nodos (A, B, …). Sus tensiones VA, VB, … son las incógnitas.
En cada nodo incógnita, escribe la KCL: las corrientes que salen por las resistencias suman la corriente que las fuentes de corriente inyectan.
Escribe cada corriente de resistencia como (Vnodo − Votro extremo)/R y resuelve las ecuaciones.
Usa la ley de Ohm para hallar cualquier corriente de rama que pida la pregunta.
Escribir cada corriente de resistencia como saliente del nodo hace que los signos salgan automáticamente. No tienes que adivinar antes los sentidos reales.
Necesitas una ecuación por cada nodo incógnita. Nunca escribas una ecuación para el nodo de referencia: su tensión ya se conoce.
4Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
Halla la tensión del nodo VA y la corriente IR1 por R1, desde la fuente hacia A.
1
Observa el circuito
El cable inferior es la masa. La parte superior de V1 está 15 V por encima de la masa, así que ese nodo es conocido: 15 V.
Solo el nodo A es incógnita, así que necesitas una ecuación.
2
Escribe la KCL en A
Dos resistencias salen de A: R1 va al nodo de 15 V y R2 va a masa. La fuente de corriente inyecta 1 A en A.
(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3
Despeja VA
Multiplica ambos lados por 6 para quitar las fracciones.
2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4
Halla la corriente en R₁
IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A
El resultado es positivo, así que 1 A circula realmente desde la fuente hacia A.
5
Comprueba la respuesta
R2 lleva 12/6 = 2 A hacia masa. Hacia A entran 1 A por R1 y 1 A desde la fuente de corriente.
Son 2 A que entran y 2 A que salen, así que la KCL se cumple en A.
Respuesta
VA = 12 V e IR1 = 1 A.
5Dos nodos incógnita
Con dos nodos incógnita escribes una ecuación KCL en cada nodo y resuelves las dos ecuaciones juntas.
En el nodo A salen tres resistencias: R1, R2 y R3. En el nodo B salen dos resistencias y la fuente de corriente inyecta 2 A.
A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2
Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por 3:
7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6
Suma las dos ecuaciones. Los términos en VB se cancelan, así que 6·VA = 24.
VA = 4 V, VB = 5 V
Observa que R3 aparece en ambas ecuaciones, como (VA − VB) en A y como (VB − VA) en B. Es una comprobación rápida de que tus ecuaciones son correctas.
6Errores frecuentes
Confundir el signo de una resistencia compartida: es (VA − VB) en A, pero (VB − VA) en B.
Olvidar una fuente de corriente que entra en el nodo o sale de él.
Escribir una ecuación KCL para el nodo de referencia, o tratar un nodo conocido como incógnita.
Quitar el signo menos de una corriente negativa. Un resultado negativo significa que la corriente circula en contra de la flecha.
Autoevaluación En el nodo A, una resistencia de 4 Ω va a masa y otra resistencia de 4 Ω va a un nodo de 12 V. Una fuente de 2 A inyecta corriente en A. ¿Cuánto vale VA?
10 V
12 V
2 V
6 V
Respuesta: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 da 2·VA − 12 = 8, así que VA = 10 V. Olvidar la fuente da 6 V; tratarla como saliente de A da 2 V.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: un nodo incógnita A, con una fuente de tensión y una fuente de corriente o una segunda fuente de tensión. Basta una ecuación KCL.
Medio: dos nodos incógnita A y B, con una fuente de corriente en B. Escribe dos ecuaciones y resuélvelas juntas.
Difícil: dos nodos incógnita y tres fuentes: dos fuentes de tensión y una de corriente. El método es el mismo, con más términos.
La pregunta pide la tensión de un nodo, o la corriente por una resistencia en el sentido de la flecha.
Para una corriente de rama, halla primero las tensiones de los nodos. Después usa I = (Vinicio − Vfin)/R a lo largo de la flecha.
Solo se desconoce el nodo A. Escribe una ecuación de LCK: la suma de las corrientes de rama que salen de A es cero.
Cada corriente de rama es (VA − Vk)/Rk. Agrupa los términos en VA en un lado.
Σ1/R = 0,9583 S.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Toma el conductor inferior como tierra. Cada rama lleva (VA − Vk)/Rk saliendo de A, donde Vk es la tensión de su fuente (cero para una resistencia sola). Las corrientes que salen de A suman cero.
(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0
Despeja VA
VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V
Respuesta
VA = 13,04 V
Ejemplo 2Media
La fuente de tensión Vₛ entre A y B tiene su borne + en B, así que impone VB − VA = Vₛ. Usa el análisis nodal con un supernodo para hallar la corriente Ix por la fuente de tensión, de A a B como indica la flecha.
Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω
Calcula Ix(A)
Mostrar pistas
Una fuente de tensión entre dos nodos que no son tierra fija su diferencia: VB − VA = Vs.
Escribe una ecuación de LCK para el supernodo que engloba A, B y la fuente: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
VA = 1 V.
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Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Forma un supernodo
La fuente de tensión entre A y B conduce una corriente desconocida, así que no se puede escribir la LCK en A ni en B por separado. Encierra A, B y la fuente en un supernodo: la corriente que entra es igual a la que sale.
VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is
Resuelve
VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V
Corriente por la fuente de tensión
Todo lo que pasa por la fuente de A a B sale del nodo B por R₂.
Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A
Respuesta
Ix = 1,333 A
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en contra de la flecha.
Ejemplo 3Difícil
Usa el análisis nodal para hallar la corriente IR4 por R4 en el sentido de la flecha.
Toma el cable inferior como tierra (0 V). Los nodos conectados directamente a una fuente de tensión ya se conocen, así que las incógnitas son VA y VB.
Escribe la LCK en A: para cada resistencia, (VA − Votro extremo)/R, e iguala su suma a la corriente de fuente que entra en A.
Al resolver se obtiene VA = 2,455 V. Después, IR4 = (tensión en la cola de la flecha − tensión en la punta)/R4.
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Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Plantea los nodos
La tierra es el cable inferior. Las tensiones de nodo conocidas salen directamente de las fuentes (V1 = 6 V, V2 = 9 V). Incógnitas: VA, VB.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05
Resuelve
Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V
Respuesta
IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A
Preguntas y respuestas
Análisis nodal: ¿qué es?
El análisis nodal es un método estándar para hallar todas las tensiones de un circuito. Funciona incluso cuando las reglas de serie y paralelo no bastan.
Un nodo es un punto donde se unen dos o más partes de un circuito. Un tramo entero de cable simple cuenta como un solo nodo, porque en un cable no hay caída de tensión.
Análisis nodal: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Elige un nudo de referencia (tierra) y nombra las tensiones de los demás nudos.
Aplica la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nudo desconocido: las corrientes que salen por cada rama igualan a las que entran.
Expresa cada corriente de rama como (Va − Vb)/R.
Resuelve el sistema de ecuaciones y luego halla la corriente que necesites.
Análisis nodal: ¿cuáles son los errores más comunes?
Confundir el signo de una corriente de rama entre las dos ecuaciones de nudo.
Escribir una ecuación para el nudo de referencia.
Olvidar una fuente de corriente que entra o sale de un nudo.
Análisis nodal: ¿qué se practica?
Fácil: 1 nodo desconocido
Media: 2 nodos desconocidos
Difícil: 2 nodos, 3 fuentes
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.